Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng

Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 180), vật thể có vị trí toạ độ (4cos t°; 3sin t°).

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 15 trang 73 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 180), vật thể có vị trí toạ độ (4cos t°; 3sin t°).

a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.

b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Lời giải:

a) Vị trí ban đầu của vật thể ứng với t = 0, suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là A₁(4; 0) (do 4cos 0° = 4 và 3sin 0° = 0).

Vị trí kết thúc của vật thể ứng với t = 180, suy ra vật thể ở vị trí có tọa độ là A₂(– 4; 0) (do 4cos 180° = – 4 và 3sin 180° = 0).

b) Vì vật thể có vị trí toạ độ (4cos t°; 3sin t°).

Do đó, với một điểm M bất kì thuộc quỹ đạo chuyển động của vật thể ta có:

x_M = 4cos t°, y_M = 3sin t°.

Khi đó từ đẳng thức: sin² t° + cos² t° = 1 hay (sin t°)² + (cos t°)² = 1, ta suy ra:

${\left(\frac{y_M}{3}\right)}^2+{\left(\frac{x_M}{4}\right)}^2=1\iff \frac{x_M^2}{16}+\frac{y_M^2}{9}=1$

Do đó, vật thể chuyển động trên đường elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$.

Khi t thay đổi trên đoạn [0; 180] thì sin t° thay đổi trên đoạn [0; 1] và cos t° thay đổi trên đoạn [– 1; 1]. Do đó, 4cos t° ∈ [– 4; 4] và 3sin t° ∈ [0; 3].

Vậy quỹ đạo vật thể (hay là tập hợp điểm M) là nửa đường elip (E) nằm trên trục hoành.