Một quả bóng chày được đánh đi với vận tốc 35 m/s hợp với phương ngang một góc bằng 45°

Một quả bóng chày được đánh đi với vận tốc 35 m/s hợp với phương ngang một góc bằng 45° ở độ cao 1 m so với mặt sân phẳng ở chỗ vụt bóng. Bỏ qua sức cản của không khí và lấy g = 9,8 m/s.

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 4 trang 71 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Một quả bóng chày được đánh đi với vận tốc 35 m/s hợp với phương ngang một góc bằng 45° ở độ cao 1 m so với mặt sân phẳng ở chỗ vụt bóng. Bỏ qua sức cản của không khí và lấy g = 9,8 m/s².

a) Biết rằng quỹ đạo chuyển động của quả bóng chày được cho bởi phương trình:

$y=\frac{-g}{2v_o^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha +h$,

trong đó x là quãng đường (tính bằng mét) quả bóng bay được theo phương ngang, h là độ cao của quả bóng lúc được đánh đi so với mặt đất, vận tốc ban đầu v₀ hợp với phương ngang một góc α.

Viết phương trình chuyển động của quả bóng chày.

b) Tính độ cao lớn nhất của quả bóng chày.

c) Tính tầm xa của quả bóng chày, tức là khoảng cách từ mặt đất ở chỗ đánh bóng và nơi quả bóng chạm đất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Có một hàng rào cao 4 m cách chỗ đánh bóng 125 m theo hướng đánh bóng. Hỏi quả bóng chày được đánh đi như trên có bị bay qua hàng rào đó hay không?

Lời giải:

a) Ta có: g = 9,8 m/s², α = 45°, h = 1 m, v₀ = 35 m/s.

Do đó, phương trình chuyển động của quả bóng chày là:

$y=\frac{-9,8}{2.{35}^2.{\cos }^2{45}^o}{x}^2+x\tan {45}^o+1$.

Hay y = $\frac{-1}{125}{x}^2$ + x + 1.

b) Quả bóng chày đạt độ cao lớn nhất tức là hàm số y = $\frac{-1}{125}{x}^2$ + x + 1 đạt giá trị lớn nhất.

Hàm số y = $\frac{-1}{125}{x}^2$ + x + 1 là hàm số bậc hai nên đồ thị là một parabol.

Vì hệ số a = $\frac{-1}{125}<0$, do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng tung độ đỉnh của parabol và giá trị lớn nhất này đạt được tại hoành độ đỉnh của parabol là x = $\frac{-b}{2a}=\frac{-1}{2.\frac{-1}{125}}=62,5$.

Khi đó, tung độ đỉnh y = $\frac{-1}{125}.62,5^2+62,5+1$ = 32,25.

Vậy độ cao cực đại của quả bóng chày là 32,25 m.

c) Bóng chạm đất khi y = 0.

Xét y = 0 ⇔ $\frac{-1}{125}{x}^2$ + x + 1 = 0 ⇔ x ≈ 126 hoặc x ≈ – 1 (loại).

Vậy tầm xa của quả bóng chày là khoảng 126 m.

d) Quả bóng chày không bị bay qua hàng rào khi độ cao của quả bóng chày nhỏ hơn độ cao của hàng rào là 4 m.

Xét y < 4 ⇔ $\frac{-1}{125}{x}^2$ + x + 1 < 4 ⇔ x² – 125x + 375 > 0 ⇔ x < 3 hoặc x > 122.

Do 125 > 122.

Vậy quả bóng chày không bị bay qua hàng rào khi được đánh đi ở vị trí cách hàng rào 125 m.