Cho tam thức bậc hai f(x) = ax^2 + bx + c với đồ thị là parabol có đỉnh I(1; 4)

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax + bx + c với đồ thị là parabol có đỉnh I(1; 4) và đi qua điểm A(2; 3).

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 3 trang 70 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c với đồ thị là parabol có đỉnh I(1; 4) và đi qua điểm A(2; 3).

a) Xác định các hệ số a, b, c của tam thức bậc hai f(x).

b) Vẽ parabol này.

c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b), hãy cho biết khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và tập giá trị của hàm số y = f(x).

d) Lập bảng xét dấu để giải bất phương trình $\frac{f\left(x\right)}{x-2}\ge 0$.

Lời giải:

a) Parabol có đỉnh là I(1; 4) nên có phương trình dạng y = a(x – 1)² + 4.

Vì điểm A(2; 3) thuộc parabol nên ta có:

3 = a(2 – 1)² + 4 ⇔ a + 4 = 3 ⇔ a = – 1.

Vậy tam thức bậc hai cần tìm là f(x) = –(x – 1)² + 4 hay f(x) = – x² + 2x + 3.

Suy ra các hệ số là: a = – 1; b = 2; c = 3.

b) Ta có: a = – 1 < 0 nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

Đỉnh parabol là I(1; 4).

Trục đối xứng x = 1.

Giao điểm của parabol với trục Oy là (0; 3). Điểm đối xứng với điểm (0; 3) qua trục đối xứng x = 1 là (2; 3).

Giao điểm của parabol với trục Ox là (– 1; 0) và (3; 0).

Vẽ đường cong đi qua các điểm trên ta được parabol cần vẽ.

c) Từ đồ thị trên ta thấy:

- Hàm số đồng biến trên khoảng (– ∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; + ∞).

- Tập giá trị của hàm số là (– ∞; 4].

d) Xét bất phương trình $\frac{f\left(x\right)}{x-2}\ge 0$, hay $\frac{-x^2+2x+3}{x-2}\ge 0$.

Tam thức f(x) = – x² + 2x + 3 có ∆' = 1² – (– 1) . 3 = 4 > 0 và a = – 1 < 0, f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = – 1 và x₂ = 3. Do đó, f(x) > 0 với mọi x ∈ (– 1; 3) và f(x) < 0 với mọi x ∈ (– ∞; – 1) ∪ (3; + ∞).

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = (– ∞; – 1] ∪ (2; 3].