Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H, AD là tia phân giác của góc HAC (Hình 4)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H, AD là tia phân giác của ()

Giải sách bài tập Toán lớp 7 Bài 1: Tổng các góc của một tam giác

Bài 7 trang 68 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC tại H, AD là tia phân giác của $\widehat{HAC}$ (Hình 4)

a) Tìm các cặp góc có tổng số đo bằng 90°.

b) Cho $\hat{C}=40°$ . Tính số đo của $\hat{B},\widehat{BDA},\widehat{DAC}.$

c) Chứng minh: $\widehat{BAH}=\hat{C},\widehat{CAH}=\hat{B},\widehat{BAD}=\widehat{BDA}.$

Lời giải:

a) Xét ∆ABC vuông tại A ta có:

$\hat{B}+\hat{C}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Xét ∆ABH vuông tại H ta có:

$\hat{B}+\widehat{BAH}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Xét ∆ACH vuông tại H ta có:

$\hat{C}+\widehat{CAH}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Xét ∆ADH vuông tại H ta có:

$\widehat{A\text{D}H}+\widehat{DAH}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Ta có: $\widehat{BAC}=90°=\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=\widehat{BAD}+\widehat{DAC}$

Vậy các cặp góc có tổng số đo bằng 90° là:

$\widehat{BAH}$ và $\widehat{CAH}$ ; $\hat{B}$ và $\hat{C}$ ; $\hat{B}$ và $\widehat{BAH}$ ; $\hat{C}$ và $\widehat{CAH}$ ; $\widehat{BAD}$ và $\widehat{DAC}$ ; $\widehat{HAD}$ và $\widehat{ADH}$ .

b) • Do $\hat{B}+\hat{C}=90°$ (chứng minh câu a) nên $\hat{B}=90°-\hat{C}$ .

Mà $\hat{C}=40°$ nên $\hat{B}=90°-40°=50°$ .

• Do $\hat{C}+\widehat{CAH}=90°$ (chứng minh câu a)

Nên $\widehat{CAH}=90°-\hat{C}=90°-40°=50°$ .

MàAD là tia phân giác của $\widehat{CAH}$ (giả thiết)

Do đó $\widehat{DAC}=\widehat{DAH}=\frac{\widehat{CAH}}{2}=\frac{50°}{2}=25°$ .

• Do $\widehat{A\text{D}H}+\widehat{DAH}=90°$(chứng minh câu a)

Nên $\widehat{ADH}=90°-\widehat{DAH}=90°-25°=65°$ hay $\widehat{BDA}=65°.$

Vậy $\hat{B}=50°,\widehat{BDA}=65°,\widehat{DAC}=25°.$

c) Vì $\hat{B}+\widehat{BAH}=90°$ (chứng minh câu a)

Nên $\widehat{BAH}=90°-\hat{B}=90°-50°=40°$ .

Khi đó $\hat{B}=\widehat{CAH}\left(=50°\right)$ , $\hat{C}=\widehat{BAH}\left(=40°\right)$ .

Lại có $\widehat{BAD}+\widehat{DAC}=90°;\widehat{A\text{D}H}+\widehat{DAH}=90°$ (chứng minh câu a)

Mà $\widehat{DAC}=\widehat{DAH}$ suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{ADH}$ hay $\widehat{BAD}=\widehat{BDA}.$

Vậy $\widehat{BAH}=\hat{C},\widehat{CAH}=\hat{B},\widehat{BAD}=\widehat{BDA}.$