Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn
Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải sách bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 5 - Kết nối tri thức
Bài 5.32 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A;
b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
Lời giải:
a) Vì BC ⊥ AH tại H nên BC là tiếp tuyến với đường tròn (A; AH) tại H.
Mà BD là tiếp tuyến của (A; AH) nên AB là đường phân giác của góc DAH, hay ^DAH=2^BAH
Tương tự với BC và CE, ta có ^HAE=2^HAC
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
^BAH+^HAC=^BAC=90°
Do đó:
Suy ra ba điểm D, A, E thẳng hàng.
Mà D và E đều nằm trên (A; AH) nên DE là đường kính của (A; AH) hay D và E đối xứng với nhau qua A. (đpcm)
b) Gọi O là trung điểm của BC.
Xét tam giác vuông ABC, ta thấy AO là đường trung tuyến nên OA = OB = OC.
Do đó đường tròn đường kính BC là đường tròn (O; OA).
Xét ∆ABC và ∆HBA có:
(góc chung)
Suy ra ∆ABC ᔕ ∆HBA (g.g)
Tương tự, ta có ∆ABC ᔕ ∆HAC, suy ra ∆HBA ᔕ ∆HAC.
Xét ∆HAC và ∆EAC có:
Chung cạnh AC
AH = AE (bán kính đường tròn (A; AH))
Suy ra ∆HAC = ∆EAC (c.g.c).
Do đó ∆HBA ᔕ ∆EAC, suy ra hay . (1)
Do OA = OC nên tam giác OAC cân tại A, suy ra hay . (2)
Mà tam giác ABC vuông tại A nên
Suy ra hay OA ⊥ AE.
Do đó DE tiếp xúc với đường tròn (O; OA) tại A. (đpcm)
Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 5 hay khác: