Giải Toán 10 trang 92 Tập 1 Cánh diều
Haylamdo biên soạn và sưu tầm với giải Toán 10 trang 92 Tập 1 trong Bài 5: Tích của một số với một vectơ Toán lớp 10 Tập 1 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập Toán 10 trang 92.
Giải Toán 10 trang 92 Tập 1 Cánh diều
Bài 1 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình thang MNPQ, MN // PQ, MN = 2PQ. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. →MN=2→PQ;
B. →MQ=2→NP;
C. →MN=−2→PQ;
D. →MQ=−2→NP.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C.
MNPQ là hình thang với MN // PQ nên hai vectơ →MN và →PQ ngược hướng.
Mà MN = 2 PQ nên →MN=−2→PQ.
Bài 2 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB = 6 cm.
a) Xác định điểm C thỏa mãn →AC=12→AB.
b) Xác định điểm D thỏa mãn →AD=−12→AB.
Lời giải:
a) Ta có →AC=12→AB, do đó →AB và →AC cùng hướng và AC = 12AB.
Suy ra A, B, C thẳng hàng, hơn nữa C là trung điểm của AB và AC = 3 cm.
b) Ta có →AD=−12→AB, do đó →AD và →AB ngược hướng và AD = 12AB = 3 cm.
Suy ra A, B, D thẳng hàng; D và B nằm khác phía nhau so với A.
Bài 3 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:
a) →AP+12→BC=→AN;
b) →BC+2→MP=→BA.
Lời giải:
a) Vì P và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó: PN // = 12BC.
Khi đó hai vectơ →PN và →BC cùng hướng và PN = 12BC.
Suy ra: →PN=12→BC.
Do đó: →AP+12→BC=→AP+→PN=→AN.
Vậy →AP+12→BC=→AN.
b) M và P lần lượt là trung điểm của BC và AB nên MP là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó: MP // AC VÀ MP = 12 AC.
Lại có hai vectơ →MP và →CA cùng hướng và MP = 12CA nên →MP=12→CA hay →CA=2→MP.
Khi đó ta có: →BC+2→MP=→BC+→CA=→BA.
Vậy →BC+2→MP=→BA.
Bài 4 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E thuộc cạnh BC thỏa mãn BD = DE = EC (Hình 62). Giả sử →AB=→a, →AC=→b. Biểu diễn các vectơ →BC,→BD, →BE, →AD, →AE theo →a, →b .
Lời giải:
+ Ta có:
→BC=→BA+→AC=−→AB+→AC=−→a+→b
+ BD = DE = EC và D, E thuộc cạnh BC nên BD = 13BC.
Mà →BD và →BC cùng hướng nên →BD=13→BC.
Suy ra: →BD=13(−→a+→b)=−13→a+13→b.
Vậy →BD=−13→a+13→b.
+ Hai vectơ →BE, →BC cùng hướng và BE = 23BC nên →BE=23→BC.
Suy ra: →BE=23(−→a+→b)=−23→a+23→b.
Vậy →BE=−23→a+23→b.
+ Ta có:
→AD=→AB+→BD=→a+(−13→a+13→b)=(1−13)→a+13→b=23→a+13→b
Vậy →AD=23→a+13→b.
+ Ta có:
→AE=→AB+→BE=→a+(−23→a+23→b)=(1−23)→a+23→b=13→a+23→b
Vậy →AE=13→a+23→b.
Bài 5 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:
a) →EA+→EB+→EC+→ED=4→EG;
b) →EA=4→EG;
c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và →AG=34→AE.
Lời giải:
a) Ta có M là trung điểm của AB nên →GA+→GB=2→GM.
Tương tự N là trung điểm CD nên →GC+→GD=2→GN.
Lại có G là trung điểm của MN nên →GM+→GN=→0.
Khi đó: →GA+→GB+→GC+→GD=2→GM+2→GN=2(→GM+→GN)=→0
Ta có:
→EA+→EB+→EC+→ED
=(→EG+→GA)+(→EG+→GB)+(→EG+→GC)+(→EG+→GD)
=4→EG+(→GA+→GB+→GC+→GD)
= 4→EG+→0
=4→EG.
Vậy →EA+→EB+→EC+→ED=4→EG.
b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên →EB+→EC+→ED=→0.
Thay vào câu a) ta có: →EA+→0=4→EG
Vậy →EA=4→EG.
c) Theo câu b ta có: →EA=4→EG nên hai vectơ →EA, →EG cùng hướng và EA = 4EG hay EG < EA.
Do đó 3 điểm E, A, G thẳng hàng và G nằm giữa E và A.
Suy ra điểm G thuộc đoạn thẳng AE.
Vì EA = 4 EG nên AG = 34AE.
Hai vectơ →AG và →AE cùng hướng.
Do đó: →AG=34→AE.
Bài 6 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Đặt →AB=→a, →AD=→b . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Biểu thị các vectơ →AG, →CG theo hai vectơ →a, →b .
Lời giải:
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.
Khi đó O là trung điểm của AC và BD.
Do đó BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến BO của tam giác ABC.
Theo tính chất trọng tâm ta có: BG=23BO.
Mà BO = 12BD nên BG=23.12BD=13BD.
Hai vectơ →BG, →BD cùng hướng và BG = 13BD.
Nên →BG=13→BD.
Ta có: →AG=→AB+→BG=→AB+13→BD
=→AB+13(→BA+→AD)=→AB+13(−→AB+→AD)
=(1−13)→AB+13→AD=23→AB+13→AD
=23→a+13→b
Do đó: →AG=23→a+13→b.
Do ABCD là hình bình hành nên →AC=→AB+→AD.
Ta có: →CG=→CA+→AG=(−→AC)+→AG
=−(→AB+→AD)+→AG
=−(→a+→b)+(23→a+13→b)
=(−1+23)→a+(−1+13)→b
=−13→a−23→b.
Vậy →CG=−13→a−23→b.
Bài 7 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn
→DB=13→BC, →AE=13→AC,→AH=23→AB.
a) Biểu thị mỗi vectơ →AD, →DH, →HE theo hai vectơ →AB, →AC.
b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.
Lời giải:
Vì →DB=13→BC nên →DB và →BC cùng hướng và DB=13BC.
→AE=13→AC nên →AE, →AC cùng hướng và AE = 13AC.
→AH=23→AB nên →AH, →AB cùng hướng và AH=23AB.
a) + Ta có
→AD=→AB+→BD=→AB+(−→DB)
Mà →DB=13→BC.
Do đó:
→AD=→AB−13→BC
=→AB−13(→BA+→AC)
=→AB−13→BA−13→AC
=→AB−13(−→AB)−13→AC
=→AB+13→AB−13→AC
=43→AB−13→AC.
Suy ra: →AD=43→AB−13→AC.
+ Ta có:
→DH=→DA+→AH=(−→AD)+→AH
Mà →AH=23→AB, →AD=43→AB−13→AC.
Do đó:
→DH=−(43→AB−13→AC)+23→AB
=(−43→AB+13→AC)+23→AB
=(23−43)→AB+13→AC
=−23→AB+13→AC
Vậy →DH=−23→AB+13→AC.
+ Ta có:
→HE=→HA+→AE
=(−→AH)+→AE
Mà →AE=13→AC, →AH=23→AB.
Do đó:
→HE=(−23→AB)+13→AC
=−23→AB+13→AC
Vậy →HE=−23→AB+13→AC.
b) Theo câu a, ta có: →DH=−23→AB+13→AC và →HE=−23→AB+13→AC.
Do đó: →DH=→HE.
Suy ra D, H, E thẳng hàng, hơn nữa H là trung điểm của DE.
Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ Cánh diều hay khác:
