Cho ∆ABC thỏa mãn sin A = sin B + sin C/cos B + cos C. Khi đó ∆ABC là: A. Tam giác vuông; B. Tam giác cân; C. Tam giác tù; D. Tam giác đều.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$ và $\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}$.

• Theo hệ quả định lí sin, ta có:

$\sin A = \frac{a}{{2R}};\,\,\sin B = \frac{b}{{2R}};\,\,\sin C = \frac{c}{{2R}}$.

• Ta có $\sin A = \frac{{\sin B + \sin C}}{{\cos B + \cos C}}$

⇔ sinA(cosB + cosC) = sinB + sinC

$\Leftrightarrow \frac{a}{{2R}}.\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}} \right) = \frac{b}{{2R}} + \frac{c}{{2R}}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{2R}}.\frac{1}{{2a}}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{c} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{b}} \right) = \frac{{b + c}}{{2R}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{c} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{b}} \right) = b + c$

$\Leftrightarrow \frac{{b\left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right) + c\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{bc}} = 2\left( {b + c} \right)$

⇔ a²b + bc² – b³ + a²c + b²c – c³ = 2b²c + 2bc²

⇔ b³ + c³ – (a²b + a²c) + (b²c + bc²) = 0

⇔ (b + c)(b² – bc + c²) – a²(b + c) + bc(b + c) = 0

⇔ (b + c)(b² – bc + c² – a² + bc) = 0

⇔ (b + c)(b² + c² – a²) = 0

⇔ b + c = 0 (vô lí vì b, c > 0) hoặc b² + c² = a²

⇔ AC² + AB² = BC²

Áp dụng định lí Pytago đảo, ta được ∆ABC vuông tại A.

Vậy ta chọn phương án A.