Cho ∆ABC có a.sinA + b.sinB + c.sinC = ha + hb + hc. Khi đó ∆ABC là: A. Tam giác cân; B. Tam giác đều; C. Tam giác thường; D. Tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích ∆ABC là: $S = \frac{1}{2}a.{h_a} = \frac{1}{2}b.{h_b} = \frac{1}{2}c.{h_c}$.

Suy ra ${h_a} = \frac{{2S}}{a};\,\,{h_b} = \frac{{2S}}{b};\,\,{h_c} = \frac{{2S}}{c}$.

Diện tích ∆ABC là:

$S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}ac.\sin B = \frac{1}{2}ab.\sin C$.

Suy ra $\sin A = \frac{{2S}}{{bc}};\,\,\sin B = \frac{{2S}}{{ac}};\,\,\sin C = \frac{{2S}}{{ab}}$.

Ta có a.sinA + b.sinB + c.sinC = h_a + h_b + h_c

$\Leftrightarrow a.\frac{{2S}}{{bc}} + b.\frac{{2S}}{{ac}} + c.\frac{{2S}}{{ab}} = \frac{{2S}}{a} + \frac{{2S}}{b} + \frac{{2S}}{c}$

$\Leftrightarrow 2S.\left( {\frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ac}} + \frac{c}{{ab}}} \right) = 2S.\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{bc}} + \frac{b}{{ac}} + \frac{c}{{ab}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

$\Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{abc}} = \frac{{bc + ac + ab}}{{abc}}$

⇔ a² + b² + c² = bc + ac + ab

⇔ 2a² + 2b² + 2c² = 2bc + 2ac + 2ab

⇔ (a² – 2ab + b²) + (a² – 2ac + c²) + (b² – 2bc + c²) = 0

⇔ (a – b)² + (a – c)² + (b – c)² = 0

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\a - c = 0\\b - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a = c\\b = c\end{array} \right.$

⇔ a = b = c.

Vậy ∆ABC là tam giác đều.

Do đó ta chọn phương án B.