Cho ∆ABC biết cos ^2A + cos ^2B/sin ^2A + sin ^2B = 1/2( cot^2A + cot^2B ). Khi đó ∆ABC là: A. Tam giác cân; B. Tam giác thường; C. Tam giác đều; D. Tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} = \frac{1}{2}\left( {{{\cot }^2}A + {{\cot }^2}B} \right)$.

$\Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} + 1 = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\cot }^2}A + 1 + {{\cot }^2}B} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B + {{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}B}}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} = \frac{1}{2}.\frac{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}{{{{\sin }^2}A.{{\sin }^2}B}}$

(Áp dụng kết quả Bài tập 5a và 5d, trang 65, Sách giáo khoa, Toán 10, Tập một).

⇔ (sin²A + sin²B)² = 4.sin²A.sin²B

⇔ sin⁴A + 2.sin²A.sin²B + sin⁴B – 4.sin²A.sin²B = 0

⇔ sin⁴A – 2.sin²A.sin²B + sin⁴B = 0

⇔ (sin²A – sin²B)² = 0

⇔ sin²A = sin²B

Theo hệ quả định lí sin, ta được ${\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{2R}}} \right)^2}$

$\Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}}$

⇔ a² = b²

⇔ a = b hay BC = AC.

Vậy ∆ABC cân tại C.

Do đó ta chọn phương án A.