Cho ∆ABC biết cos ^2A + cos ^2B/sin ^2A + sin ^2B = 1/2( cot^2A + cot^2B ). Khi đó ∆ABC là: A. Tam giác cân; B. Tam giác thường; C. Tam giác đều; D. Tam giác vuông.
Câu hỏi:
Cho ∆ABC biết \(\frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} = \frac{1}{2}\left( {{{\cot }^2}A + {{\cot }^2}B} \right)\). Khi đó ∆ABC là:
A. Tam giác cân;
B. Tam giác thường;
C. Tam giác đều;
D. Tam giác vuông.
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} = \frac{1}{2}\left( {{{\cot }^2}A + {{\cot }^2}B} \right)\).
\( \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} + 1 = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\cot }^2}A + 1 + {{\cot }^2}B} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{\cos }^2}A + {{\cos }^2}B + {{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}B}}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}} = \frac{1}{2}.\frac{{{{\sin }^2}A + {{\sin }^2}B}}{{{{\sin }^2}A.{{\sin }^2}B}}\)
(Áp dụng kết quả Bài tập 5a và 5d, trang 65, Sách giáo khoa, Toán 10, Tập một).
⇔ (sin2A + sin2B)2 = 4.sin2A.sin2B
⇔ sin4A + 2.sin2A.sin2B + sin4B – 4.sin2A.sin2B = 0
⇔ sin4A – 2.sin2A.sin2B + sin4B = 0
⇔ (sin2A – sin2B)2 = 0
⇔ sin2A = sin2B
Theo hệ quả định lí sin, ta được \({\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = {\left( {\frac{b}{{2R}}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}}\)
⇔ a2 = b2
⇔ a = b hay BC = AC.
Vậy ∆ABC cân tại C.
Do đó ta chọn phương án A.
Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán 10 CTST có lời giải hay khác:
Câu 1:
Cho ∆ABC thỏa mãn sin2A = sinB.sinC. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Xem lời giải »
Câu 2:
Cho ∆ABC thỏa mãn \[\sin A = \frac{{\sin B + \sin C}}{{\cos B + \cos C}}\]. Khi đó ∆ABC là:
Xem lời giải »
Câu 3:
Cho ∆ABC có a.sinA + b.sinB + c.sinC = ha + hb + hc. Khi đó ∆ABC là:
Xem lời giải »
Câu 4:
Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C.
Người ta đo được khoảng cách AB = 40 m, BC = 70 m, \(\widehat {CAB} = 45^\circ \). Vậy sau khi đo đạc và tính toán, ta được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?
Xem lời giải »
Câu 5:
Từ vị trí A, người ta quan sát một cái cây cao mọc vuông góc với mặt đất như hình vẽ.
Biết vị trí quan sát cách mặt đất một khoảng AH = 4 m và khoảng cách từ chân đường vuông góc của vị trí quan sát A trên mặt đất tới gốc cây là HB = 20 m, \(\widehat {BAC} = 45^\circ \). Chiều cao của cây gần nhất với giá trị nào sau đây?
Xem lời giải »
Câu 6:
Giả sử CD = h là chiều cao của tháp, trong đó C là chân tháp.
Một người đứng tại vị trí A (\(\widehat {CAD} = 63^\circ ),\) không sang được bờ bên kia để đo chiều cao h của tháp nên chọn thêm một điểm B (ba điểm A, B, C thẳng hàng) cách A một khoảng 24 m và \[\widehat {CBD} = 48^\circ \] để tính toán được chiều cao của tháp. Chiều cao h của tháp gần nhất với:
Xem lời giải »
Câu 7:
Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5 m. Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 50° và 40° so với phương nằm ngang.
Chiều cao của tòa nhà gần nhất với giá trị nào sau đây?
Xem lời giải »