Cho ∆ABC thỏa mãn sin^2A = sinB.sinC. Khẳng định nào sau đây đúng nhất? A. a^2 = bc; B. cos A lớn hơn hoặc bằng 1/2; C. Cả A và B đều đúng; D. Cả A và B đều sai.
Câu hỏi:
Cho ∆ABC thỏa mãn sin2A = sinB.sinC. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
• Theo hệ quả định lí sin ta có:
sinA=a2R, sinB=b2R và sinC=c2R.
Ta có sin2A = sinB.sinC.
⇔(a2R)2=b2R.c2R
⇔a2(2R)2=bc(2R)2
⇔ a2 = bc.
Do đó phương án A đúng.
• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:
cosA=b2+c2−a22bc=b2+c2−bc2bc.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số b, c > 0, ta được b2 + c2 ≥ 2bc.
Do đó ta có cosA=b2+c2−bc2bc≥2bc−bc2bc=bc2bc=12.
Vì vậy cosA≥12.
Do đó phương án B đúng.
Vậy ta chọn phương án C.