Cho ∆ABC thỏa mãn sin^2A = sinB.sinC. Khẳng định nào sau đây đúng nhất? A. a^2 = bc; B. cos A lớn hơn hoặc bằng 1/2; C. Cả A và B đều đúng; D. Cả A và B đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

• Theo hệ quả định lí sin ta có:

$\sin A = \frac{a}{{2R}}$, $\sin B = \frac{b}{{2R}}$ và $\sin C = \frac{c}{{2R}}$.

Ta có sin²A = sinB.sinC.

$\Leftrightarrow {\left( {\frac{a}{{2R}}} \right)^2} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}$

$\Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}} = \frac{{bc}}{{{{\left( {2R} \right)}^2}}}$

⇔ a² = bc.

Do đó phương án A đúng.

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2bc}}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số b, c > 0, ta được b² + c² ≥ 2bc.

Do đó ta có $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2bc}} \ge \frac{{2bc - bc}}{{2bc}} = \frac{{bc}}{{2bc}} = \frac{1}{2}$.

Vì vậy $\cos A \ge \frac{1}{2}$.

Do đó phương án B đúng.

Vậy ta chọn phương án C.