Cho hình chữ nhật ABCD có AB = căn bậc hai 2 , AD = 1. Tính góc giữa hai vectơ AC
Câu hỏi:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = √2, AD = 1. Tính góc giữa hai vectơ →AC và →BD.
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tam giác ACD vuông tại D: cos^CAD=ADAC.
Tam giác ABC vuông tại B: cos^CAD=ADAC.
Ta có →AC.→BD=→AC.(→AD−→AB)=→AC.→AD−→AC.→AB.
=AC.AD.cos^CAD−AC.AB.cos^CAB
=AC.AD.ADAC−AC.AB.ABAC
=AD2−AB2=1−2=−1.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có CD = AB = √2 và AC = BD.
Tam giác ACD vuông tại D: AC2=AD2+CD2 (Định lý Pytago)
⇔AC2=12+(√2)2=3
⇒AC=√3.
Do đó BD = AC = √3.
Lại có: →AC.→BD=AC.BD.cos(→AC, →BD)
⇔−1=√3.√3.cos(→AC, →BD)
⇔cos(→AC, →BD)=−13.
⇒(→AC, →BD)≈109°.
Vậy ta chọn đáp án C.