Cho hình thoi ABCD tâm O và góc BAD=60 độ. Tính độ dài vecto AB+AD.

Câu hỏi:

A. $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=2a\sqrt{3}$

B. $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=a\sqrt{3}$

C. $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=3a$

D. $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=3a\sqrt{3}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tứ giác ABCD là hình thoi ⇒ AB = AD.

Do đó tam giác ABD cân tại A.

Mà $\widehat{BAD}=60°$.

Suy ra tam giác ABD là tam giác đều.

⇒ BD = AB = AD = 2a.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

Suy ra $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC$.

Vì O là tâm hình thoi ABCD nên O là trung điểm AC và BD.

Do đó AC = 2AO và BO = $\frac{1}{2}BD$ = a.

Tam giác ABO vuông tại O: $A{O}^2=A{B}^2-BO{}^2$ (Định lý Pytago)

$\iff A{O}^2=4a^2-a^2=3a^2$.

$\Rightarrow AO=a\sqrt{3}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC=2AO=2a\sqrt{3}$.

Vậy ta chọn đáp án A.