Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\right|$ là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a.

Đáp án đúng là : B 

Ta có: $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}$

$=2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+3\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)+4\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right).$

$=9\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}$

Ta chọn điểm I sao cho $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 3\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)+\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}.$    (1)

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=3\overrightarrow{IG}$              (2)

Thay (2) vào (1) ta được: $9\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{0}$

$\iff 9\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 9\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\iff 9\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{CA}$       (3)

Do đó $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\right|$

$\iff \left|9\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|$

$\iff \left|9\overrightarrow{MI}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|$  (do $2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$)

$\iff 9MI=AB\iff IM=\frac{AB}{9}$

Vì I là điểm cố định thỏa mãn (3) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I, bán kính $R=\frac{AB}{9}=\frac{a}{9}.$