Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, G là trọng tâm tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, G là trọng tâm tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|$ là

A. đường trung trực đoạn thẳng BC;

Đáp án đúng là: A

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\\ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MJ}\end{array}\right..$

Theo bài ta có $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|$

$\iff \left|2\overrightarrow{MI}\right|=\left|2\overrightarrow{MJ}\right|\iff MI=MJ.$

Suy ra M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng IJ.

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|$ là đường trung trực của đoạn thẳng IJ.

Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó IJ // BC.

Suy ra tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng BC.