Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn
Câu hỏi:
Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi ki ‒ lo ‒ gam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi ki ‒ lo ‒ gam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 250 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x, y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Giá trị x2 + y2 là:
A. 1
B. 1,2
C. 1,3
D. 1,5
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gia đình chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn nên 0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,1.
Mỗi ki ‒ lo ‒ gam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit; mỗi ki ‒ lo ‒ gam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit mà gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên:
Ta có hệ bất phương trình:
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục toạ độ Oxy:
- Biểu diễn miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≥ 0.
+ Đường thẳng x = 0 là trục Oy.
Miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy (kể cả bờ Oy) nằm bên phải trục Oy.
* Tương tự ta biểu diễn các miền nghiệm:
- Miền nghiệm D2 của bất phương trình y ≥ 0: là nửa mặt phẳng bờ Ox (kể cả bờ Ox) nẳm bên trên trục Ox.
- Miền nghiệm D3 của bất phương trình x ≤ 1,6: là nửa mặt phẳng bờ d1 (kể cả bờ d1: x = 1,6) chứa điểm O.
- Miền nghiệm D4 của bất phương trình y ≤ 1,1: là nửa mặt phẳng bờ d2 (kể cả bờ d2: y = 1,1) chứa điểm O.
- Miền nghiệm D5 của bất phương trình 8x + 6y ≥ 9.
+ Vẽ đường thẳng d3: 8x + 6y = 9.
+ Xét điểm O(0; 0): Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình ta có 8. 0 + 6. 0 = 0 ≥ 9 là mệnh đề sai nên điểm O(0; 0) không thỏa mãn bất phương trình 8x + 6y ≥ 9.
Miền nghiệm D5 của bất phương trình 8x + 6y ≥ 9 là nửa mặt phẳng bờ d3 (kể cả bờ d3) không chứa điểm O.
- Tương tự miền nghiệm D6 của bất phương trình x + 2y ≥ 2 là nửa mặt phẳng bờ d4 (kể cả bờ d4) không chứa điểm O.
Ta có đồ thị:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác ABCD:
A(0,3; 1,1), B(1,6; 1,1), C(1,6; 0,2), D(0,6; 0,7).
Giá tiền một kg thịt bò là 250 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng nên tổng số tiền cần mua là F (x; y) = 250x + 110y (nghìn đồng) phải nhỏ nhất.
Tại A(0,3; 1,1), F = 250. 0,3 + 110. 1,1 = 196;
Tại B(1,6; 1,1), F = 250. 1,6 + 110. 1,1 = 521;
Tại C(1,6; 0,2), F = 250. 1,6 + 110. 0,2 = 422;
Tại D(0,6; 0,7), F = 250. 0,6 + 110. 0,7 = 227.
Vậy F (x; y) nhỏ nhất là 196 khi x = 0,3 và y = 1,1.
Khi đó x2 + y2 = 0,32 + 1,12 = 1,3.
