Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R.

Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tỉ số $\frac{R}{r}$ là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông cân tại A, giả sử AB = AC = a, theo định lí Py – ta – go ta có:

BC² = AB² + AC² = a² + a² = 2a²

$\Rightarrow BC=a\sqrt{2}.$ 

Do đó nửa chu vi tam giác ABC là $p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{a+a+a\sqrt{2}}{2}=a.\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)$ 

Tam giác ABC vuông tại A nên diện tích tam giác ABC là:

$S=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.a.a=\frac{a^2}{2}$ (đơn vị diện tích)

Mặt khác $S=pr=\frac{AB.AC.BC}{4R}$ 

$\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{a^2}{2}}{a.\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right)}=\frac{a}{2+\sqrt{2}}$  và $R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{a.a.a\sqrt{2}}{4.\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ 

Do đó $\frac{R}{r}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{2+\sqrt{2}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}:\frac{a}{2+\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{2+\sqrt{2}}{a}=1+\sqrt{2}$ 

Vậy $\frac{R}{r}=1+\sqrt{2}.$