Giải Toán 10 trang 70 Tập 2 Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm giải Toán 10 trang 70 Tập 2 trong Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ Toán lớp 10 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 70.

Giải Toán 10 trang 70 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn ∆: x + 1 = 0.

Lời giải:

Ta có đường chuẩn ∆: x + 1 = 0 nên $\frac{p}{2}=1$ ⇔ p = 2.

Khi đó phương trình chính tắc của parabol (P) là: y² = 2px

⇔ y² = 2.2.x

⇔ y² = 4x.

Vậy phương trình chính tắc của parabol cần tìm là y² = 4x.

Vận dụng 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Một cổng chào có hình parabol cao 10m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2m.

Lời giải:

Ta vẽ parabol biểu diễn cho cổng chào như sau:

Gọi phương trình của parabol là y² = 2px.

Ta có chiều cao của cổng là OH = 10, bề rộng của cổng là AB = 5.

Khi đó A(10; 2,5), thay tọa độ điểm A vào parabol y² = 2px, ta được:

2,5² = 2p.10

⇔ $\frac{25}{4}$ = 20p

⇔ p = $\frac{25}{4.20}=\frac{5}{16}$

Suy ra parabol có phương tình y² = 2.$\frac{5}{16}$.x ⇔ y² = $\frac{5}{8}$.x

Tại vị trí điểm K cách đỉnh 2m bề rộng của cổng là đoạn CD.

Gọi C(2; y_C) (y_C > 0)

Vì C thuộc parabol nên tọa độ của C thỏa mãn y² = $\frac{5}{8}$.x nên ta có:

$y_C^2$ = $\frac{5}{8}$.2

⇔ $y_C^2$ = $\frac{5}{4}$

⇔ y_C = $\frac{\sqrt{5}}{2}$

⇒ C = (0; $\frac{\sqrt{5}}{2}$).

Khi đó CD = 2|y_C|= 2.$\frac{\sqrt{5}}{2}$ = $\sqrt{5}$ .

Vậy bề rộng của cộng tại chỗ cách đỉnh 2m là $\sqrt{5}$m.

Bài 1 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của:

a) Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16;

b) Hypebol có tiêu cự 2c = 20 và độ dài trục thực 2a = 12;

c) Parabol có tiêu điểm F$\left(\frac{1}{2};0\right)$.

Lời giải:

a) Độ dài trục lớn của elip là 2a = 20 ⇔ a = 20 : 2 = 10;

Độ dài trục nhỏ của elip là: 2b = 16 ⇔ b = 16 : 2 = 8;

Khi đó phương trình chính tắc của elip cần tìm là:

$\frac{x^2}{{10}^2}+\frac{y^2}{8^2}=1$

⇔ $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$

Vậy phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$.

b) Ta có tiêu cự của hypebol là 2c = 20 ⇔ c = 20 : 2 = 10;

Độ dài trục thực 2a = 12 ⇔ a = 12 : 2 = 6;

Ta lại có: a² + b² = c²

⇔ b² = c² – a²

⇔ b² = 10² – 6²

⇔ b² = 100 – 36

⇔ b² = 64

⇔ b = 8

Khi đó phương trình chính tắc của elip là: $\frac{x^2}{6^2}-\frac{y^2}{8^2}=1\iff \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$

c) Parabol có tiêu điểm F$\left(\frac{1}{2};0\right)$ nghĩa là $\frac{p}{2}=\frac{1}{2}$ ⇔ p = 1.

Khi đó phương trình chính tắc của parabol là: y² = 2.1.x ⇔ y² = 2x.

Bài 2 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ các tiêu điểm của chúng.

a) (C₁): 4x² + 16y² = 1;

b) (C₂): 16x² – 4y² = 144;

c) (C₃): x= $\frac{1}{8}$y².

Lời giải:

a) Xét phương trình: 4x² + 16y² = 1

⇔ $\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{16}}=1$

⇔ $\frac{x^2}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}+\frac{y^2}{{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=1$

Đây là phương trình chính tắc của elip với a = $\frac{1}{2}$ và b = $\frac{1}{4}$.

Ta có: b² + c² = a²

⇔ c² = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{4}-\frac{1}{16}=\frac{3}{16}$

⇔ c = $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Khi đó tọa độ các tiêu điểm của elip là F₁$\left(\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$ và F₂$\left(-\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$.

Vậy phương trình đã cho biểu diễn cho elip và có tọa độ các tiêu điểm lần lượt là F₁$\left(\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$ và F₂$\left(-\frac{\sqrt{3}}{4};0\right)$.

b) Xét phương trình 16x² – 4y² = 144

⇔ $\frac{16x^2}{144}-\frac{4y^2}{144}=1$

⇔ $\frac{x^2}{\frac{144}{16}}-\frac{y^2}{\frac{144}{4}}=1$

⇔ $\frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{6^2}=1$

Đây là phương trình chính tắc của hypebol với a = 3 và b = 6.

Ta có: a² + b² = c²

⇔ c² = 3² + 6² = 9 + 36 = 45

⇔ c = $3\sqrt{5}$

Khi đó tọa độ các tiêu điểm của hypebol là F₁$\left(3\sqrt{5};0\right)$ và F₂$\left(-3\sqrt{5};0\right)$.

Vậy phương trình đã cho biểu diễn cho hypebol và có tọa độ các tiêu điểm lần lượt là F₁$\left(3\sqrt{5};0\right)$ và F₂$\left(-3\sqrt{5};0\right)$.

c) Ta có: x= $\frac{1}{8}$y²⇔ y² = 8x

Ta thấy phương trình (C₃) có dạng y² = 2px nên (C₃) là phương trình của parabol và p = 4.

⇒ Tọa độ tiêu điểm của (C₃) là F(2; 0).

Vậy parabol (C₃): x= $\frac{1}{8}$y² có tiêu điểm là F = (2; 0).

Bài 3 trang 70 Toán lớp 10 Tập 2: Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm × 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên ván ép như hướng dẫn sau:

Chuẩn bị:

- Hai cái đinh, một vòng dây kín không đàn hồi, bút chì.

Thực hiện:

- Xác định vị trí (hai tiêu điểm của elip) và ghim hai cái đinh lên hai điểm đó trên tấm ván.

- Quàng vòng dây qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường elip. (xem minh họa trong Hình 15).

Phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu xentimét và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta có: hình elip có độ dài trục lớn là 80 cm nên 2a = 80 ⇔ a = 40

Độ dài trục nhỏ là 40 cm nên 2b = 40 ⇔ b = 20

⇒ c = $\sqrt{a^2-b^2}$ = $\sqrt{{40}^2-{20}^2}$= $20\sqrt{3}$(cm).

⇒ 2c = 2.20$\sqrt{3}$= 40$\sqrt{3}$

⇒ F₁F₂ = 2c = 40$\sqrt{3}$

Do đó hai cái đinh cách mép chiều dài của tấm ván là 20 cm, cách mép chiều rộng của tấm ván là (80 − $40\sqrt{3}$) : 2 ≈5,36 cm.

Độ dài vòng dây là MF₁ + MF₂ + F₁F₂ = 2a + 2c = 2.40 + 2.$20\sqrt{3}$ ≈ 74,64 cm.

Vậy hai cái đinh cách mép chiều dài của tấm ván khoảng 20 cm, cách mép chiều rộng của tấm ván 5,36 cm và Độ dài vòng dây là 74,64 cm.

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ Chân trời sáng tạo hay khác:

• Giải Toán 10 trang 63 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 64 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 65 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 66 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 67 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 68 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 71 Tập 2

• Giải Toán 10 trang 73 Tập 2