Giải Toán 10 trang 95 Tập 1 Chân trời sáng tạo

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm giải Toán 10 trang 95 Tập 1 trong Bài 3: Tích của một số với một vectơ Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 95.

Giải Toán 10 trang 95 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$  và một điểm M như Hình 3.

a) Hãy vẽ các vectơ $\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{a},\overrightarrow{MP}=-3\overrightarrow{b}$ .

b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: $\left|3\overrightarrow{b}\right|,\left|-3\overrightarrow{b}\right|,\left|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|$.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{a}$ nên vectơ $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng $3.\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow{a}$ và lấy điểm N trên đường thẳng đó cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ thỏa mãn MN = $3.\left|\overrightarrow{a}\right|$

Lại có:  $\overrightarrow{MP}=-3\overrightarrow{b}$ nên vectơ $\overrightarrow{MP}$ ngược hướng với vectơ  $\overrightarrow{b}$ và có độ dài bằng $\left|-3\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|=3.\left|\overrightarrow{b}\right|$.

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow{b}$ và lấy điểm P trên đường thẳng đó ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $MP=3.\left|\overrightarrow{b}\right|$ .

b) Mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 nên đường chéo của mỗi ô vuông có độ dài là $\sqrt{2}$.

Ta có vectơ $\overrightarrow{a}$ có độ dài là $\left|\overrightarrow{a}\right|=2$, vectơ  $\overrightarrow{b}$ có độ dài là $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}$.

Ta có: $\left|3\overrightarrow{b}\right|=3.\left|\overrightarrow{b}\right|=3.\sqrt{2}=3\sqrt{2}$; $\left|-3\overrightarrow{b}\right|=\left|-3\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|=3\sqrt{2}$.

Lại có:   $2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=2\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)$ (1).

Ta kí hiệu như hình vẽ dưới với $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA},\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}$.

Ta có:  $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$  (2).

Từ (1) và (2) suy ra: $2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{BC}$.

Nên $\left|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|=\left|2\overrightarrow{BC}\right|=2\left|\overrightarrow{BC}\right|=2BC$.

Ta có:  $\widehat{BAC}=45°+90°=135°$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2 . AB . AC . cosA

        =  ${\left(\sqrt{2}\right)}^2$ + 2² – 2 .  . 2 . cos135° = 10

Suy ra BC = $\sqrt{10}$ .

Vậy  $\left|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right|=\left|2\overrightarrow{BC}\right|=2\left|\overrightarrow{BC}\right|=2BC=2\sqrt{10}$.

Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Lời giải:

+) Giả sử tam giác ABC có trọng tâm G, ta cần chứng minh $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Với điểm M bất kì ta có: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$.

Khi đó: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)$

$=3\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{MG}$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

+) Giả sử tam giác ABC có 2 điểm M, G thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$, ta cần chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

$\iff \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-3\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{0}$

$\iff \left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MG}\right)+\left(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MG}\right)+\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MG}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vận dụng trang 95 Toán lớp 10 Tập 1: Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lí/giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lí/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$ của tàu B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}$ của tàu A.

Lời giải:

Tàu A đi theo hướng từ đông sau tây, tàu B đi theo hướng từ tây sang đông nên hai tàu đi ngược hướng nhau. Do đó vectơ vận tốc của tàu A là $\overrightarrow{a}$ và vectơ vận tốc của tàu B là $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ ngược hướng.

Ta có:  $\left|\overrightarrow{a}\right|=20$ hải lí/giờ, $\left|\overrightarrow{b}\right|=50$ hải lí/giờ.

Suy ra: $\frac{\left|\overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{50}{20}=\frac{5}{2}\Rightarrow \left|\overrightarrow{b}\right|=\frac{5}{2}\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Vì hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng và $\left|\overrightarrow{b}\right|=\frac{5}{2}\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Do vậy $\overrightarrow{b}=-\frac{5}{2}\overrightarrow{a}$.

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ Chân trời sáng tạo hay khác:

• Giải Toán 10 trang 94

• Giải Toán 10 trang 96

• Giải Toán 10 trang 97