Giải Toán 10 trang 97 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Haylamdo biên soạn và sưu tầm giải Toán 10 trang 97 Tập 1 trong Bài 3: Tích của một số với một vectơ Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 97.
Giải Toán 10 trang 97 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:
a) →MA+→MB+→MC+→MD=4→MO;
b) →AB+→AC+→AD=2→AC.
Lời giải:
a) O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.
Khi đó: →OA+→OC=→0, →OB+→OD=→0
Theo quy tắc ba điểm, ta có: →MA+→MB+→MC+→MD
=(→MO+→OA)+(→MO+→OB)+(→MO+→OC)+(→MO+→OD)
=4→MO+(→OA+→OC)+(→OB+→OD)
=4→MO+→0+→0=4→MO
Vậy →MA+→MB+→MC+→MD=4→MO.
b) ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: →AB+→AD=→AC.
Khi đó ta có: →AB+→AC+→AD=(→AB+→AD)+→AC=→AC+→AC=2→AC.
Vậy →AB+→AC+→AD=2→AC.
Bài 2 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:
a) →AC+→BD=2→MN;
b) →AC+→BD=→BC+→AD.
Lời giải:
a) Do M là trung điểm của AB nên →MA+→MB=→0.
Do N là trung điểm của CD nên →NC+→ND=→0
Theo quy tắc ba điểm ta có: →AC+→BD=(→MC−→MA)+(→MD−→MB)
=(→MC+→MD)−(→MA+→MB)=(→MC+→MD)−(→MA+→MB)
→BC+→AD=2→MN=2→MN+(→NC+→ND)=2→MN+→0=2→MN
Vậy →AC+→BD=2→MN.
b) Ta có: →BC+→AD=(→BN+→NC)+(→AN+→ND)=(→BN+→AN)+(→NC+→ND)
=(→BN+→AN)+→0=→BN+→AN=(→MN−→MB)+(→MN−→MA)
=2→MN−(→MA+→MB)=2→MN−→0=2→MN
Do đó: →BC+→AD=2→MN
Mà theo câu a, ta có: →AC+→BD=2→MN
Vậy →AC+→BD=→BC+→AD.
Bài 3 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho →MA+4→MB=→0.
Lời giải:
Ta có: →MA+4→MB=→0⇔→MA=−4→MB.
Suy ra ba điểm M, A, B thẳng hàng và hai vectơ →MA và →MB ngược hướng và thỏa mãn |→MA|=4.|→MB| hay MA = 4MB.
Khi đó M, A, B thẳng hàng và M nằm giữa A và B thỏa mãn MA = 4MB.
Vậy điểm M thỏa mãn →MA+4→MB=→0 là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho MA = 4MB.
Bài 4 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng →MA+→MB+→MC+→MD=4→MG.
Lời giải:
Vì E là trung điểm của AB nên với điểm G ta có: →GA+→GB=2→GE.
Vì F là trung điểm của CD nên với điểm G ta có: →GC+→GD=2→GF.
Mà G là trung điểm của EF nên →GE+→GF=→0.
Do đó: →GA+→GB+→GC+→GD=2→GE+2→GF=2(→GE+→GF)=→0.
Với điểm M tùy ý, ta có: →MA+→MB+→MC+→MD
=(→MG+→GA)+(→MG+→GB)+(→MG+→GC)+(→MG+→GD)
=4→MG+(→GA+→GB+→GC+→GD)
=4→MG+→0=4→MG
Vậy →MA+→MB+→MC+→MD=4→MG.
Bài 5 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng tây nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc →b của máy bay B theo vectơ vận tốc →a của máy bay A.
Lời giải:
Quan sát bản đồ về hướng sau:
Ta thấy hướng đông bắc ngược hướng với hướng tây nam.
Do đó vectơ vận tốc →b của máy bay B ngược hướng với vectơ vận tốc →a của máy bay A. (1)
Theo bài ra ta có: |→a|=600 km/h, |→b|=800 km/h.
Suy ra: |→b||→a|=800600=43⇒|→b|=43.|→a| (2)
Từ (1) và (2) suy ra: →b=−43→a.
Bài 6 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B.
a) Xác định điểm O sao cho →OA+3→OB=→0.
b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có →MA+3→MB=4→MO.
Lời giải:
a) Ta có: →OA+3→OB=→0⇔→OA=−3→OB
Do đó ba điểm A, O, B thẳng hàng và hai vectơ →OA và →OB ngược hướng thỏa mãn |→OA|=3.|→OB|.
Khi đó O nằm trên đoạn thẳng AB thỏa mãn OA = 3OB.
b) Với điểm M bất kì ta có: →MA+3→MB=(→MO+→OA)+3(→MO+→OB)
=→MO+→OA+3→MO+3→OB=4→MO+(→OA+3→OB)=4→MO+→0=4→MO
Vậy với mọi điểm M bất kì ta có →MA+3→MB=4→MO.
Bài 7 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.
a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: →MB=12→BC, →AN=3→NB, →CP=→PA.
b) Biểu thị mỗi vectơ →MN, →MP theo hai vectơ →BC, →BA.
c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Lời giải:
a) Ta có: →MB=12→BC nên ba điểm M, B, C thẳng hàng và vectơ →MB cùng hướng với vectơ →BC sao cho |→MB|=12.|→BC| hay MB = 12BC.
Lại có: →AN=3→NB nên ba điểm A, N, B thẳng hàng và vectơ →AN cùng hướng với vectơ →NB sao cho |→AN|=3|→NB| hay AN = 3NB.
Có: →CP=→PA⇔→PA−→CP=→0⇔→PA+(−→CP)=→0⇔→PA+→PC=→0
⇔ P là trung điểm của đoạn thẳng AC.
b) Vì AN = 3NB nên BN = 14BA, do đó: →BN=14→BA.
Ta có: →MN=→MB+→BN=12→BC+14→BA.
Vì MB = 12BC nên MC=32BC, do đó: →MC=32→BC.
P là trung điểm của AC nên →CP=12→CA.
Nên ta có: →MP=→MC+→CP=32→BC+12→CA=32→BC+12(→BA−→BC)
=(32−12)→BC+12→BA=→BC+12→BA
Vậy →MN=12→BC+14→BA và →MP=→BC+12→BA.
c) Theo câu b ta có: →MN=12→BC+14→BA=12(→BC+12→BA)=12→MP
Do đó: →MN=12→MP
Từ đó suy ra ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ Chân trời sáng tạo hay khác: