Bài 3 trang 115 Toán 11 Tập 2 Cánh diều
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.
Giải Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối - Cánh diều
Bài 3 trang 115 Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ACC’A’) và (BDD’B’) vuông góc với nhau.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’.
Lời giải:
a) Ta có ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên BB’ ⊥ (ABCD).
Mà AC ⊂ (ABCD) nên BB’ ⊥ AC.
Do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.
Ta có: AC ⊥ BB’, AC ⊥ BD và BB’ ∩ BD = B trong (BDD’B’).
Suy ra AC ⊥ (BDD’B’).
Hơn nữa AC ⊂ (ACC’A’).
Từ đó, ta có (ACC’A’) ⊥ (BDD’B’).
b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên C’D’DC là hình chữ nhật.
Do đó CD // C’D’.
Mà CD // AB (do ABCD là hình vuông) nên AB // C’D’.
Khi đó, d(AB, C’D’) = d(B, C’D’). (1)
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng và đáy ABCD là hình vuông nên A’B’C’D’ cũng là hình vuông.
Do đó C’D’ ⊥ B’C’.
Ta có: C’D’ ⊥ B’C’;
C’D’ ⊥ C’C (do C’D’DC là hình chữ nhật);
B’C’ ∩ C’C = C’ trong (BCC’B’).
Suy ra C’D’ ⊥ (B’C’CB).
Mà BC’ ⊂ (B’C’CB) nên C’D’ ⊥ BC’.
Khi đó d(B, C’D’) = BC’. (2)
Từ (1) và (2) ta có: d(AB, C’D’) = BC’.
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên C’C ⊥ (ABCD).
Khi đó AC là hình chiếu của AC’ trên (ABCD).
Suy ra góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (ABCD) bằng
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:
AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2.
Suy ra
Ta có: C’C ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên C’C ⊥ AC.
Xét tam giác C’AC vuông tại C (do C’C ⊥ AC) có:
Do đó
Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên B’C’CB là hình chữ nhật.
Suy ra C’C ⊥ BC.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác C’CB vuông tại C (vì C’C ⊥ BC) có:
BC’2 = CC’2 + BC2
Suy ra
Do đó
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C’D’ bằng
Lời giải bài tập Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối hay, chi tiết khác: