Giải Toán 11 trang 65 Tập 2 Cánh diều

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Toán 11 trang 65 Tập 2 trong Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 65.

Giải Toán 11 trang 65 Tập 2 Cánh diều

Hoạt động 2 trang 65 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm x₀ = 1 bằng định nghĩa

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 1.

Ta có $\Delta y=f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)=\sqrt{1+\Delta x}-\sqrt{1}=\sqrt{1+\Delta x}-1$

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+\Delta x}-1}{\Delta x}$

             $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{1+\Delta x}-1\right)\left(\sqrt{1+\Delta x}+1\right)}{\Delta x\left(\sqrt{1+\Delta x}+1\right)}$

             $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1+\Delta x-1}{\Delta x\left(\sqrt{1+\Delta x}+1\right)}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta x\left(\sqrt{1+\Delta x}+1\right)}$

              $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+\Delta x}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}.$

Luyện tập 2 trang 65 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ tại điểm x₀ = 9

Lời giải:

Ta có :$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$với x > 0.

Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm x₀ = 9 là $f^{\text{'}}\left(9\right)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{6}.$

Hoạt động 3 trang 65 Toán 11 Tập 2: Bằng cách sử dụng kết quả $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì bằng định nghĩa

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có $\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)–f\left(x\right)=sin\left(x+\Delta x\right)–sinx=2cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2}$

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{2cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\right)$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }cos\left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \underset{\frac{\Delta x}{2}\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$

$=cos\left(x+\frac{0}{2}\right)\cdot 1=\cos x.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất kì là y’ = cosx.

Luyện tập 3 trang 65 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại điểm $x_0=\frac{\pi }{2}$

Lời giải:

Ta có f’(x) = cosx.

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm $x_0=\frac{\pi }{2}$ là: $f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{2}\right)=\cos \frac{\pi }{2}=0$

Hoạt động 4 trang 65 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cosx tại điểm x bất kì

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì.

Ta có $\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)–f\left(x\right)=cos\left(x+\Delta x\right)–cosx=-2\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2}$

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-2\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}$

 $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(-\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\right)$

$=-\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$

$=-\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sin \left(x+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \underset{\frac{\Delta x}{2}\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}$

$=-\sin \left(x+\frac{0}{2}\right)\cdot 1=-\sin x.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = cosx tại điểm x bất kì là y’ = –sinx.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm hay khác:

• Giải Toán 11 trang 64
• Giải Toán 11 trang 66
• Giải Toán 11 trang 67
• Giải Toán 11 trang 68
• Giải Toán 11 trang 69
• Giải Toán 11 trang 71
• Giải Toán 11 trang 72