Giải Toán 11 trang 66 Tập 2 Cánh diều

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Toán 11 trang 66 Tập 2 trong Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm Toán 11 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 66.

Giải Toán 11 trang 66 Tập 2 Cánh diều

Luyện tập 4 trang 66 Toán 11 Tập 2: Một vật dao động theo phương trình f(x) = cosx, trong đó x là thời gian tính theo giây. Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm x₀ = 2

Lời giải:

Ta có:f’(x)= –sinx

Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm x₀ = 2 là: f’(2) = –sin2

Hoạt động 5 trang 66 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ)

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì, $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ)

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = tan(x + ∆x) – tanx.

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{tan\left(x+\Delta x\right)–tanx}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\sin \left(x+\Delta x\right)}{\cos \left(x+\Delta x\right)}-\frac{\sin x}{\cos x}}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x+\Delta x\right)\cos x-\cos \left(x+\Delta x\right)\sin x}{\Delta x\cdot \cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x+\Delta x-x\right)}{\Delta x\cdot \cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \Delta x}{\Delta x\cdot \cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \Delta x}{\Delta x}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos \left(x+\Delta x\right)\cos x}$

$=1\cdot \frac{1}{\cos \left(x+0\right)\cos x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = tanx tại điểm x bất kì, $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$(k ∈ ℤ) là $y\text{'}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$

Luyện tập 5 trang 66 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = tanx tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{6}$

Lời giải:

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ $\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right).$

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{6}$ là: 

$f^{\text{'}}\left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{{\cos }^2\left(-\frac{\pi }{6}\right)}=\frac{1}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{4}{3}$

Hoạt động 6 trang 66 Toán 11 Tập 2: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k∈ ℤ)

Lời giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k ∈ ℤ).

Ta có: ∆y = f(x + ∆x) – f(x) = cot(x + ∆x) – cotx.

Suy ra $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{cot\left(x+\Delta x\right)–cotx}{\Delta x}$

                        $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\cos \left(x+\Delta x\right)}{\sin \left(x+\Delta x\right)}-\frac{\cos x}{\sin x}}{\Delta x}$

                        $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\cos \left(x+\Delta x\right)\sin x-\sin \left(x+\Delta x\right)\cos x}{\Delta x\cdot \sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

                        $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(x-x-\Delta x\right)}{\Delta x\cdot \sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

                        $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(-\Delta x\right)}{\Delta x\cdot \sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

                        $=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-\sin \Delta x}{\Delta x}\cdot \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sin \left(x+\Delta x\right)\sin x}$

                        $=\left(-1\right)\cdot \frac{1}{\sin \left(x+0\right)\sin x}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}.$

Vậy đạo hàm của hàm số y = cotx tại điểm x bất kì, x ≠ kπ (k ∈ ℤ) là $y\text{'}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}.$

Luyện tập 6 trang 66 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = cotx tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{3}$

Lời giải:

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ (x ≠ kπ, k ∈ ℤ)

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm $x_0=-\frac{\pi }{3}$ là:

$f^{\text{'}}\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{{\sin }^2\left(-\frac{\pi }{3}\right)}=-\frac{1}{{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{-4}{3}.$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm hay khác:

• Giải Toán 11 trang 64
• Giải Toán 11 trang 65
• Giải Toán 11 trang 67
• Giải Toán 11 trang 68
• Giải Toán 11 trang 69
• Giải Toán 11 trang 71
• Giải Toán 11 trang 72