X

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1. Dãy số có giới hạn là 0

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limn + un = 0 hay un → 0 khi n → +∞.

Chú ý: Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có các kết quả sau:

+) limn + 1nk = 0 với k là một số nguyên dương;

+) limn + qn = 0 nếu |q| < 1;

+) Nếu |un| ≤ vn với mọi n ≥ 1 và limn + vn = 0 thì limn + un = 0.

Ví dụ: Xét dãy số un = 1n3. Tìm giới hạn của dãy số?

Hướng dẫn giải

Dãy số này có giới hạn là 0, bởi vì |un|= 1n3 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi n đủ lớn.

Chẳng hạn, để |un| < 0,0001 tức là 1n3 < 10-4, ta cần n3 > 10000 hay n > 21,54. Như vậy, các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 22 đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 0,0001.

1.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu limn + (un-a) = 0, kí hiệu limn +un = a hay un → a khi n → +∞.

Chú ý: Nếu un = c (c là hằng số) thì limn +un= c.

Ví dụ: Xét dãy số (un) với un = 3n + 1n. Tìm giới hạn của dãy số?

Hướng dẫn giải

Ta có: un – 3 = 3n + 1n – 3 = Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức → 0 khi n → +∞.

Do vậy limn +un = 3.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

Các quy tắc tính giới hạn:

a) Nếu limn +un = a và limn +vn = b thì

limn +(un+vn) = a+b;

limn + (un-vn) = a-b;

limn +(un.vn) = a.b;

limn + unvn= ab (nếu b ≠ 0).

b) Nếu un ≥ 0 với mọi n và limn +un = a thì

a ≥ 0 và limn+un=a.

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) limn + 2n2 +n + 1n2;

b) limn+3n2+2n+1.

Hướng dẫn giải

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta có:

a) limn + 2n2 +n + 1n2 = limn + 2 +1n + 1n21

=Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức = 2

b) limn+3n2+2n+1= Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

=limn+3+2.1n21+1n= Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) với công bội q. Khi đó

Sn = u1 + u2 + … + un = Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Vì |q| < 1 nên qn → 0 khi n → +∞. Do đó, ta có:

limn + Sn= limn + Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức = u11q

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) và kí hiệu là

S = u1 + u2 + … + un + ….

Như vậy

S = u1 1 q (|q|<1).

Ví dụ: Tính tổng

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Hướng dẫn giải

Tổng S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u­1 = 14 và q = 14.

Do đó, Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

4. Giới hạn vô cực của dãy số

- Dãy số (un) được gọi là có giới hạn +∞ khi n→ +∞ nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limn +un = +∞ hay un → +∞ khi n→ +∞.

- Dãy số (un) được gọi là có giới hạn –∞ khi n→ +∞ nếu limn +(-un)= +∞, kí hiệu limn +(un) = –∞, hay un → – ∞ khi n→ +∞.

Theo định nghĩa trên, ta có:

limn +(nk) = +∞, với k là số nguyên dương;

limn +(qn) = +∞, với q > 1.

Một số quy tắc tính giới hạn vô cực của dãy số:

+ Nếu limn +un = a và limn +vn= + (hoặc limn +vn= ) thì limn + unvn = 0.

+ Nếu limn +un = a > 0 và limn +vn = 0 và vn > 0 với mọi n thì limn + unvn= +.

+ Nếu limn +un= +limn +vn = a > 0 thì limn + un vn= +.

Ví dụ: Tính Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Hướng dẫn giải

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức = 0 vì Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức = 2 và limn+3n=+.

Bài tập Giới hạn của dãy số

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

a) limn +(2n3-3n+2);

b) limn+2n+1n2;

c) Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Hướng dẫn giải

a)limn +(2n3-3n+2) = limn+Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức = +

limn+n3=+Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức = 2.

b) limn+2n+1n2 = limn+2+1n12n = 2.

c) Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

= limn+4 + 3n + 1n29 6n + 1n2 = 49

Bài 2: Cho hai dãy số không âm (un) và (vn) với limn +un= 3limn +vn= 5. Tìm giới hạn của: limn +vn2vn un .

Hướng dẫn giải

Ta có: limn +vn= 5, do đó limn +vn2=limn +(vn . un) = 5.5 = 25.

limn +(vn - un) = 5-3 = 2.

Vậy limn +vn2vn un = 252.

Bài 3: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 3; – 1;Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Hướng dẫn giải

un là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = 13.

Tổng của cấp số nhân này là: S = u1 1 q = 3 1 + 13 = 94.

Bài 4: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng 56, tổng bình phương các số hạng bằng 448. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

u12 11q2 = 448

Giới hạn của dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Suy ra: q = 34.

Ta tìm được: u1 = 14.

Học tốt Giới hạn của dãy số

Các bài học để học tốt Giới hạn của dãy số Toán lớp 11 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay khác: