X

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức

Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Lý thuyết Hàm số lượng giác

1. Định nghĩa hàm số lượng giác

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx.

Tập xác định của hàm số sin là ℝ.

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx.

Tập xác định của hàm số côsin là ℝ.

- Hàm số cho bằng công thức y = sinxcosx được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx.

Tập xác định của hàm số tang là R\ Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức.

- Hàm số cho bằng công thức y = cosxsinx được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cotx.

Tập xác định của hàm số côtang là R\{kπ|kZ}.

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số y=2sinx.

Hướng dẫn giải

Biểu thức 2sinx có nghĩa khi sinx ≠ 0, tức là xkπ (kZ).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là R\{kπ|kZ}.

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

- Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x ∈ D thì –x ∈ D thì f(–x) = f(x).

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.

- Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x ∈ D thì –x ∈ D thì f(–x) = – f(x).

Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Nhận xét: Để vẽ đồ thị của một hàm số chẵn (tương ứng, lẻ), ta chỉ cần vẽ phần đồ thị của hàm số nằm ở bên phải trục tung, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung (tương ứng, qua gốc tọa độ), ta sẽ được đồ thị của hàm số đã cho.

Ví dụ: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) = x2 – 3.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có: f(–x) = (–x)2 – 3 = x2 – 3 = f(x).

Vậy f(x) là hàm số chẵn.

b) Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có:

i) x + T ∈ D và x – T ∈ D;

ii) f(x + T) = f(x).

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Nhận xét:

a) Các hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kì 2ℼ. Các hàm số y = tanx và y = cotx tuần hoàn với chu kì ℼ.

b) Để vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn với chu kì T, ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên đoạn [a; a + T], sau đó dịch chuyển song song với trục hoành phần đồ thị đã vẽ sang phải và sang trái các đoạn có độ dài lần lượt là T, 2T, 3T, … ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.

Chú ý: Tổng quát, người ta chứng minh được các hàm số y = Asinωx và y = Acosωx (ω ≠ 0) là những hàm số tuần hoàn với chu kì T =Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức.

Ví dụ: Xét tính tuần hoàn của hàm số y = cos2x.

Hướng dẫn giải

Hàm số có tập xác định là ℝ và với mọi số thực x, ta có:

x – ℼ ∈ ℝ, x + ℼ ∈ ℝ

cos2(x + ℼ) = cos (2x + 2ℼ) = cos2x

Vậy y = cos2x là hàm số tuần hoàn với chu kì T = ℼ.

3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sin x

Hàm số y = sin x

- Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [–1 ; 1];

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 2ℼ;

- Đồng biến trên mỗi khoảng Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức và nghịch biến trên mỗi khoảng Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức, k ∈ ℤ;

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên [–ℼ; ℼ] để hàm số y = sin x nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải

Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn [–ℼ; ℼ], thì y < 0 khi x ∈ (–ℼ; 0).

4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx

Hàm số y = cos x

- Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [–1 ; 1];

- Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2ℼ;

- Đồng biến trên mỗi khoảng (π+k2π;k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π;π+k2π), k∈ ℤ;

- Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên [–ℼ; ℼ] để hàm số y = cos x nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn [–ℼ; ℼ], thì y > 0 khi x ∈ Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức.

5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tan x

Hàm số y = tan x

- Có tập xác định là R\Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức và tập giá trị là ℝ;

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì ℼ;

- Đồng biến trên mỗi khoảng Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức; k∈Z

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức để hàm số y = tan x nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức thì y > 0 khi x ∈ Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức.

6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cot x

Hàm số y = cot x

- Có tập xác định là R\{kπ|kZ} và tập giá trị là ℝ;

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì ℼ;

- Nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π+kπ), kZ;

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức để hàm số y = cot x nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức thì y > 0 khi x ∈ Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức.

Bài tập Hàm số lượng giác

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y=1+sinxcosx;

b) y=1+cosx1cosx.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức 1+sinxcosx có nghĩa khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ π2+kπ(k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số y=1+sinxcosx là D = R\Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức.

b) Biểu thức 1+cosx1cosx có nghĩa khi Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức (1)

Mặt khác, vì –1 ≤ cosx ≤ 1 ∀x ∈ ℝ nên 1 + cosx ≥ 0 và 1 – cosx ≥ 0

1+cosx1cosx0 khi 1 – cosx ≠ 0

Do đó (1) ⇔ 1 – cosx ≠ 0 ⇔ cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ k2ℼ (k ∈ ℤ).

Vậy tập xác định của hàm số y=1+cosx1cosx là D = ℝ \ {k2ℼ | k ∈ ℤ}.

Bài 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) f(x) = sinx cosx;

b) g(x) = sin2x + cos2x.

Hướng dẫn giải

a) Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có f(–x) = sin(–x) cos(–x) = –sinx . cosx = – f(x).

Vậy hàm số f(x) = sinx cosx là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số g(x) là D = ℝ.

Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.

Ta có g(–x) = sin2(–x) + cos2(–x) = [–sinx]2 + cos(–2x) = sin2x + cos2x = f(x).

Vậy hàm số g(x) = sin2x + cos2x là hàm số chẵn.

Bài 3. Tìm tập giá trị của hàm số sau:

a) y = 1+ sinx;

b) y = 3cosHàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức - 1.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của hàm số là sin x ≥ 0;

Vì –1 ≤ sin x ≤ 1 nên kết hợp với điều kiện xác định, ta có 0 ≤ sin x ≤ 1

Suy ra 0sinx1 ⇒ 1+0 1 + sinx 1 + 1 ⇒ 11+sinx2

⇒ 1 ≤ y ≤ 2

Vậy tập giá trị của hàm số y=1+sinx là [1; 2].

b) Ta có 1cosHàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức1, xR ⇔ -33cos Hàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức3, xR

⇔ -43cosHàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức - 12, xR

⇔ –4 ≤ y ≤ 2, ∀x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = 3cosHàm số lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức - 1 là [–4; 2].

Học tốt Hàm số lượng giác

Các bài học để học tốt Hàm số lượng giác Toán lớp 11 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay khác: