Cấp số nhân (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức
Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.
Cấp số nhân (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức
Lý thuyết Cấp số nhân
1. Định nghĩa
- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
- Cấp số nhân (un) với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi: un = un–1 . q với n ≥ 2.
Chú ý: Dãy số không đổi a, a, a, .... là một cấp số nhân với số hạng đầu là a và công bội q = 1.
Ví dụ: Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = 2. Hãy viết năm số hạng đầu của cấp số nhân này.
Hướng dẫn giải
Năm số hạng đầu của cấp số nhân này là:
u1 = 3
u2 = u1 . q = 3 . 2 = 6
u3 = u2 . q = 6 . 2 = 12
u4 = u3 . q = 12 . 2 = 24
u5 = u4 . q = 24 . 2 = 48.
Ví dụ: Cho dãy số (un) với un = 2.3n. Chứng minh rằng (un) là một cấp số nhân. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của nó.
Hướng dẫn giải
Ta có: = 3, với mọi n ≥ 2, tức là un = 3un–1
Do đó (un) là cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 . 31 = 6 và công bội q = 3.
2. Số hạng tổng quát
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức:
un = u1 . qn–1 với n ≥ 2.
Ví dụ: Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 50 của cấp số nhân: 9, –3, ….
Hướng dẫn giải
Cấp số nhân này có số hạng đầu u1 = 9 và công bội q = –3.
Do đó năm số hạng đầu là: 9, –3, 1, .
Số hạng thứ 50 là u50 = u1 . (–3)50–1 = 9 . (–3)49 = (– 3)51.
Ví dụ: Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 640 và số hạng thứ 10 bằng 2560 . Tìm số hạng thứ 15 của cấp số nhân đó.
Hướng dẫn giải
Giả sử u1 là số hạng đầu và q là công bội của cấp số nhân đó. Ta có:
u8 = u1 . q7 = 640 (1)
u10 = u1 . q9 = 2560 (2)
Lấy (2) chia vế theo vế cho (1), từ đó suy ra: q2 = 4, tức là q = 2 hoặc q = –2
Với q = 2, ta tính được u1 = 5
Với q = –2, ta tính được u1 = – 5 (loại vì u1 > 0 theo giả thiết)
Vậy số hạng thứ 15 của cấp số nhân đã cho là: u15 = u1 . q14 = 5 . 214 = 81920.
3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho cấp số nhân (un) với công sai q ≠ 1. Đặt Sn = u1 + u2 + …. + un. Khi đó:
Ví dụ: Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân 2, 4, 8, …. để được kết quả bằng 510?
Hướng dẫn giải
Cấp số nhân này có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 2. Gọi n là các số hạng đầu cần lấy. Ta có:
510 = Sn = u1 + u2 + …. + un = = – 2(1 – 2n) = 2n+1 – 2
Từ đây ta được 2n+1 = 512 = 29. Suy ra n = 8.
Vậy phải lấy 8 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho để được tổng bằng 510.
Bài tập Cấp số nhân
Bài 1: Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:
a) 1, 3, 9, ...;
b) 3, , ….
Hướng dẫn giải
a) Ta thấy: 3 : 1 = 3, 9 : 3 = 3
Suy ra công bội q = 3
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: un = 3n–1.
Số hạng thứ 5: u5 = 35–1 = 81.
Số hạng thứ 100: u100 = 3100–1 = 399.
b) Ta thấy:
Suy ra cấp số nhân có công bội q = .
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: un = 3..
Số hạng thứ 5: u5 = 3.= .
Số hạng thứ 100: u100 =3.
Bài 2: Viết năm số hạng đầu của dãy số (un) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng un = u1 . qn–1.
a) un = 4n;
b) un = 3n;
c) u1 = 2, un = nun–1.
Hướng dẫn giải
a) Năm số hạng đầu của dãy là: 4, 8, 12, 16, 20
Ta có: 8 : 4 = 2 ≠ 12 : 8 = nên (un) không phải là cấp số nhân.
b) Năm số hạng đầu của dãy là: 3; 9; 27; 81; 243
Ta có: với mọi n ≥ 2
Suy ra dãy số là cấp số nhân với u1 = 3 và công bội q = 3.
Số hạng tổng quát: un = 3 . 3n–1.
c) Năm số hạng đầu của dãy là: 2; 4; 12; 48; 240
Ta có: 4 : 2 = 2 ≠ 12 : 4 = 3 nên (un) không phải là cấp số nhân.
Bài 3: Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 10 240 và số hạng thứ 3 bằng 160. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này.
Hướng dẫn giải
Giả sử u1 là số hạng đầu và q là công bội của cấp số nhân đó. Ta có:
u6 = u1 . q5 = 10 240 (1)
u3 = u1 . q2 = 160 (2)
Lấy (1) chia vế theo vế (2) ta được: q3 = 64. Suy ra q = 4.
Với q = 4, ta tính được u1 = 10.
Suy ra công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là: un = 10 . 4n–1
Vậy số hạng thứ 50 của cấp số nhân này là u50 = 10 . 450–1 = 10 . 449.
Bài 4: Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 4 và công bội bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 131 068?
Hướng dẫn giải
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: un = 4 . 2n–1.
Gọi n là số các số hạng cần lấy tổng, ta có
131 068 = Sn = = 4 . 2n – 4
Suy ra: 2n = 32768 = 215, do đó n = 15.
Vậy ta phải lấy 15 số hạng đầu của cấp số nhân.
Học tốt Cấp số nhân
Các bài học để học tốt Cấp số nhân Toán lớp 11 hay khác: