X

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức


Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết với bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Chương 5.

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Lý thuyết tổng hợp Toán 11 Chương 5

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1. Dãy số có giới hạn là 0

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limn + un = 0 hay un → 0 khi n → +∞.

Chú ý: Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có các kết quả sau:

+) limn + 1nk = 0 với k là một số nguyên dương;

+) limn + qn = 0 nếu |q| < 1;

+) Nếu |un| ≤ vn với mọi n ≥ 1 và limn + vn = 0 thì limn + un = 0.

1.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu limn + (un-a) = 0, kí hiệu limn +un = a hay un → a khi n → +∞.

Chú ý: Nếu un = c (c là hằng số) thì limn +un= c.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

Các quy tắc tính giới hạn:

a) Nếu limn +un = a và limn +vn = b thì

limn +(un+vn) = a+b;

limn + (un-vn) = a-b;

limn +(un.vn) = a.b;

limn + unvn= ab (nếu b ≠ 0).

b) Nếu un ≥ 0 với mọi n và limn +un = a thì

a ≥ 0 và limn+un=a.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) với công bội q. Khi đó

Sn = u1 + u2 + … + un = Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức.

Vì |q| < 1 nên qn → 0 khi n → +∞. Do đó, ta có:

limn + Sn= limn + Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức = u11q

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) và kí hiệu là

S = u1 + u2 + … + un + ….

Như vậy

S = u1 1 q (|q|<1).

4. Giới hạn vô cực của dãy số

- Dãy số (un) được gọi là có giới hạn +∞ khi n→ +∞ nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limn +un = +∞ hay un → +∞ khi n→ +∞.

- Dãy số (un) được gọi là có giới hạn –∞ khi n→ +∞ nếu limn +(-un)= +∞, kí hiệu limn +(un) = –∞, hay un → – ∞ khi n→ +∞.

Theo định nghĩa trên, ta có:

limn +(nk) = +∞, với k là số nguyên dương;

limn +(qn) = +∞, với q > 1.

Một số quy tắc tính giới hạn vô cực của dãy số:

+ Nếu limn +un = a và limn +vn= + (hoặc limn +vn= ) thì limn + unvn = 0.

+ Nếu limn +un = a > 0 và limn +vn = 0 và vn > 0 với mọi n thì limn + unvn= +.

+ Nếu limn +un= +limn +vn = a > 0 thì limn + un vn= +.

5. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

5.1. Khái niệm giới hạn tại một điểm

- Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm x0. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ (a; b), xn ≠ x0 và xn → x0, ta có f (xn) → L, kí hiệu limxx0 f(x) = L hay f(x) → L khi x → x0.

- Các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm:

a) Nếu limxx0 f(x) = L và limxx0 g(x) = M thì

limxx0 [f(x) + g(x)] =L+M;

limxx0 [f(x) - g(x)] =L-M;

limxx0 [f(x) . g(x)] =L.M;

limxx0 Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức = LM, nếu M ≠ 0.

b) Nếu f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ (a; b) \ {x0} và limxx0 f(x) = L thì L ≥ 0 và Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức.

Chú ý:

limxx0c = c với c là hằng số.

limxx0xn=x0n với n ∈ ℕ.

5.2. Khái niệm giới hạn một bên

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L, kí hiệu limxx0+ f(x) = L.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L, kí hiệu limxx0 f(x) = L.

Chú ý: limxx0f(x) = L khi và chỉ khi limxx0+f(x) = limxx0f(x) = L.

6. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Khái niệm giới hạn tại vô cực:

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L, kí hiệu limx+ f(x) = L hay f(x) → L khi x → +∞.

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (–∞; b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn xn < b và xn → –∞, ta có f(xn) → L, kí hiệu limx f(x) = L hay f(x) → L khi x → –∞.

Chú ý:

- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
- Với c là hằng số, ta có: limx+ c = c, limxc = c.

- Với k là một số nguyên dương, ta có: limx+ 1xk= 0, limx 1xk= 0.

- Lưu ý: ab = Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức.

7. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

7.1. Giới hạn vô cực

• Khái niệm giới hạn vô cực

Giả sử khoảng (a; b) chứa x0 và hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) \ {x0}. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ (a; b) \ {x0}; xn → x0, ta có f(xn) → +∞, kí hiệu limxx0 f(x) = +∞.

Ta nói hàm số f(x) có giới hạn –∞ khi x → x0, kí hiệu limxx0 f(x) = -∞, nếu limxx0 [-f(x)] = +.

Giới hạn một bên:

- Cho hàm số = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x0 về bên phải nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn x0 < xn < b, xn → x0, ta có f(xn) → +∞, kí hiệu limxx0+ f(x) = +.

- Cho hàm số = f(x) xác định trên khoảng (a; x0). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x0 về bên trái nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn a < xn < x0, xn → x0, ta có f(xn) → +∞, kí hiệu limxx0 f(x) = +.

- Các giới hạn một bên limxx0+ f(x)= , limxx0 f(x) = được định nghĩa tương tự.

Chú ý: Các giới hạn limx+ f(x) = +, limx f(x) = +, limx+ f(x)=-limx f(x)=- được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số f(x) tại vô cực. Chẳng hạn: Ta nói hàm số y = f(x), xác định trên khoảng (a; +∞), có giới hạn là – ∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → –∞, kí hiệu limx+ f(x) = - hay f(x) → –∞ khi x → +∞.

Một số giới hạn đặc biệt:

+) limx+ xk= + với k nguyên dương;

+) limx f(x) = + với k là số chẵn;

+) limx f(x) = - với k là số lẻ.

7.2. Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

Chú ý các quy tắc tính giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực.

Ta có một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số đó có giới hạn vô cực.

• Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x). g(x).

Giả sử limxx0 f(x) = L≠ 0 và limxx0 g(x) = +∞ (hoặc –∞). Khi đó limxx0f(x)g(x) được tính theo quy tắc trong bảng sau:

limxx0 f(x)

limxx0 g(x)

limxx0 f(x)g(x)

L > 0

+∞

+∞

–∞

–∞

L < 0

+∞

–∞

–∞

+∞

Quy tắc tìm giới hạn của thương Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức.

limxx0 f(x)

limxx0 g(x)

Dấu của g(x)

limxx0 Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

L

±∞

Tùy ý

0

L > 0

0

+

+∞

–∞

L < 0

0

+

–∞

+∞

Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x → x0+, x → x0.

8. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x0. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu limxx0 f(x) = f(x0).

Hàm số f(x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

9. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và limxa+f(x) = f(a), limxbf(x) = f(b).

- Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như (a; b], [a; +∞),… được định nghĩa theo cách tương tự. Có thể thấy đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

- Về tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản đã biết, ta có:

+ Hàm số đa thức và các hàm số y = sin x, y = cos x liên tục trên ℝ.

+ Các hàm số y = tan x, y = cot x, y = x và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

10. Một số tính chất cơ bản của hàm số liên tục

Giả sử hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x) . g(x) liên tục tại x0;

b) Hàm số y = Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = cosx3x.

Hướng dẫn giải:

Hàm số đã cho xác định trên các khoảng (–∞; 3) và (3; +∞). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Do đó, hàm số f(x) liên tục trên ℝ \{3}.

Nhận xét: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) . f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 5

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

a) limn +(2n3-3n+2);

b) limn+2n+1n2;

c) Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Hướng dẫn giải

a)limn +(2n3-3n+2) = limn+Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức = +

limn+n3=+Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức = 2.

b) limn+2n+1n2 = limn+2+1n12n = 2.

c) Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức= limn+4n2+3n+19n2 6n + 1

= limn+4 + 3n + 1n29 6n + 1n2 = 49

Bài 2: Cho hai dãy số không âm (un) và (vn) với limn +un= 3limn +vn= 5. Tìm giới hạn của: limn +vn2vn un .

Hướng dẫn giải

Ta có: limn +vn= 5, do đó limn +vn2= limn +(vn.vn)= 5.5 = 25.

limn +(vn.vn) = 5-3 = 2.

Vậy limn +vn2vn un = 252.

Bài 3: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 3; – 1; Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức.

Hướng dẫn giải

un là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = 13.

Tổng của cấp số nhân này là: S = u1 1 q = 3 1 + 13 = 94.

Bài 4: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng 56, tổng bình phương các số hạng bằng 448. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

u12 11q2 = 448

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Suy ra: q = 34.

Ta tìm được: u1 = 14.

Bài 5: Tính các giới hạn sau:

a) limx3 x2+12x;

b) limx1 x2+x 2x 1.

Hướng dẫn giải

a) Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

b) (x – 1) → 0 hay khi x → 1, nên ta chưa thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.

Nhưng với x ≠ 1, ta có:

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Bài 6: Tìm các giới hạn một bên:

a) limx1+ x 3x 1;

b) limx4 x22x + 34 x.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: limx1+(x-1) = 0 và x – 1 > 0 với mọi x > 1

limx1+ (x-3) = 1-3 = -2 <0

Do đó: limx1+ x 3x 1 = – ∞.

b) Ta có: limx4 (4-x) = 0 và 4 – x > 0 với mọi x < 4

limx4 (x2-2x+3) = 42-8+3 = 11 > 0

Do đó: limx4 x22x + 34 x = +∞.

Bài 7: Tính các giới hạn sau:

a) limx+(x3-2x);

b) limx(x3-3x);

c) Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức.

Hướng dẫn giải

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

c) Ta có: limx1(x-1) = 0 và x – 1 < 0 với mọi x < 1.

limx1 (2x - 4) = 2.1 - 4 = -2<0.

Do đó, Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức = +.

Bài 8: Cho hàm số f(x) = 2x2 2x 1 và g(x) = x + 3. Khẳng định nào sau đây là sai?

a) f(x) = g(x).

b) limx1 f(x) = limx1 g(x).

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x ≠ 1.

Ta có: f(x) = Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức = 2(x+1) = 2x+2 với mọi x ≠ 1.

Biểu thức g(x) có nghĩa với mọi x.

Do đó f(x) ≠ g(x). Suy ra khẳng định a) là khẳng định sai.

b) limx1 f(x) = limx1 (2x+2) = 4

limx1 g(x) = limx1 (x+3) = 4

Vậy limx1 f(x) = limx1 g(x), do đó khẳng định b) là khẳng định đúng.

Bài 9: Cho hàm số f(x) = Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức. Tìm giá trị của m để f(x) liên tục trên [0; +∞).

Hướng dẫn giải

+) Với x ∈ (0; 9): f(x) = 39xx liên tục trên (0; 9).

+) Với x ∈ [9; +∞) thì f(x) = 3x liên tục trên [9; +∞).

+) Tại x = 0 ta có f(0) = m

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức

Vậy để hàm số liên tục trên [0; +∞) khi nó phải liên tục tại x = 0.

Suy ra: limx0+f(x) = mm = 16.

Vậy m = 16 thì f(x) liên tục trên [0; +∞).

Bài 10: Cho hàm số f(x) = Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Kết nối tri thức. Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: f(0) = 0

limx0+f(x) = limx0+(x2+1) = 1

limx0f(x) = limx0x = 0

Vậy f(x) gián đoạn tại x = 0.

Bài 11: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 3 và limx1[2f(x)-g(x)] = 4. Tính g(1).

Hướng dẫn giải

Vì hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên hàm số 2f(x) cũng liên tục tại x = 1.

Mà hàm số g(x) liên tục tại x = 1. Do đó, hàm số y = 2f(x) – g(x) liên tục tại x = 1.

Suy ra: limx1[2f(x)-g(x)] = 2f(1) – g(1) = 4

Mà f(1) = 3 nên ta có: 2 . 3 – g(1) = 4, suy ra g(1) = 2.

Vậy g(1) = 2.

Học tốt Toán 11 Chương 5

Các bài học để học tốt Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5 Toán lớp 11 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay khác: