X

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức


Haylamdo biên soạn và sưu tầm với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1.1. Khái niệm giới hạn tại một điểm

- Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm x0. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ (a; b), xn ≠ x0 và xn → x0, ta có f (xn) → L, kí hiệu limxx0 f(x) = L hay f(x) → L khi x → x0.

- Các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm:

a) Nếu limxx0 f(x) = L và limxx0 g(x) = M thì

limxx0 [f(x) + g(x)] =L+M;

limxx0 [f(x) - g(x)] =L-M;

limxx0 [f(x) . g(x)] =L.M;

limxx0 Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức = LM, nếu M ≠ 0.

b) Nếu f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ (a; b) \ {x0} và limxx0 f(x) = L thì L ≥ 0 và Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Chú ý:

limxx0c = c với c là hằng số.

limxx0xn=x0n với n ∈ ℕ.

Ví dụ: Tìm giới hạn của: limx2 x2+x2x1.

Hướng dẫn giải

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

1.2. Khái niệm giới hạn một bên

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L, kí hiệu limxx0+ f(x) = L.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L, kí hiệu limxx0 f(x) = L.

Chú ý: limxx0f(x) = L khi và chỉ khi limxx0+f(x) = limxx0f(x) = L.

Ví dụ: Tính limx22x.

Hướng dẫn giải

Xét dãy số (xn) bất kì, xn < 2 và xn → 2, ta có:

limx2(2-xn) =2limx2xn = 2-2 = 0. Suy ra limx22xn = 0.

Vậy limx22x= 0.

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Khái niệm giới hạn tại vô cực:

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L, kí hiệu limx+ f(x) = L hay f(x) → L khi x → +∞.

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (–∞; b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn xn < b và xn → –∞, ta có f(xn) → L, kí hiệu limx f(x) = L hay f(x) → L khi x → –∞.

Chú ý:

- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
- Với c là hằng số, ta có: limx+ c = c, limxc = c.

- Với k là một số nguyên dương, ta có: limx+ 1xk= 0, limx 1xk= 0.

- Lưu ý: ab = Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức.

Ví dụ: Tính limxx2+1x.

Hướng dẫn giải

Ta có

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

3.1. Giới hạn vô cực

• Khái niệm giới hạn vô cực

Giả sử khoảng (a; b) chứa x0 và hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) \ {x0}. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ (a; b) \ {x0}; xn → x0, ta có f(xn) → +∞, kí hiệu limxx0 f(x) = +∞.

Ta nói hàm số f(x) có giới hạn –∞ khi x → x0, kí hiệu limxx0 f(x) = -∞, nếu limxx0 [-f(x)] = +.

Giới hạn một bên:

- Cho hàm số = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x0 về bên phải nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn x0 < xn < b, xn → x0, ta có f(xn) → +∞, kí hiệu limxx0+ f(x)= +.

- Cho hàm số = f(x) xác định trên khoảng (a; x0). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x0 về bên trái nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn a < xn < x0, xn → x0, ta có f(xn) → +∞, kí hiệu limxx0 f(x) = + .

- Các giới hạn một bên limxx0+ f(x)= , limxx0 f(x) = được định nghĩa tương tự.

Chú ý: Các giới hạn limx+ f(x) = +, limx f(x) = +, limx+ f(x)=-limx f(x)=- được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số f(x) tại vô cực. Chẳng hạn: Ta nói hàm số y = f(x), xác định trên khoảng (a; +∞), có giới hạn là – ∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → –∞, kí hiệu limx+ f(x) = - hay f(x) → –∞ khi x → +∞.

Một số giới hạn đặc biệt:

+) limx+ xk= + với k nguyên dương;

+) limx f(x) = + với k là số chẵn;

+) limx f(x) = - với k là số lẻ.

Ví dụ: Tìm giới hạn của: limx+ 5x23xx2+2.

Hướng dẫn giải

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

3.2. Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

Chú ý các quy tắc tính giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực.

Ta có một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số đó có giới hạn vô cực.

• Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x). g(x).

Giả sử limxx0 f(x) = L≠ 0 và limxx0 g(x) = +∞ (hoặc –∞). Khi đó limxx0f(x)g(x) được tính theo quy tắc trong bảng sau:

limxx0 f(x)

limxx0 g(x)

limxx0 f(x)g(x)

L > 0

+∞

+∞

–∞

–∞

L < 0

+∞

–∞

–∞

+∞

Quy tắc tìm giới hạn của thương Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức.

limxx0 f(x)

limxx0 g(x)

Dấu của g(x)

limxx0 Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

L

±∞

Tùy ý

0

L > 0

0

+

+∞

–∞

L < 0

0

+

–∞

+∞

Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x → x0+, x → x0.

Ví dụ: Tìm limx0 2x + 2x2.

Hướng dẫn giải

Ta sử dụng quy tắc tìm giới hạn của thương.

Giới hạn của tử số limx0 (2x+2) = 2.

Ngoài ra, mẫu số nhận giá trị dương với mọi x ≠ 0 và limx0 x2 = 0.

Do vậy limx0 2x + 2x2= +∞.

Bài tập Giới hạn của hàm số

Bài 1: Tính các giới hạn sau:

a) limx3 x2+12x;

b) limx1 x2+x 2x 1.

Hướng dẫn giải

a) Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

= 3 3 + 123 = 53

b) (x – 1) → 0 hay khi x → 1, nên ta chưa thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.

Nhưng với x ≠ 1, ta có:

limx1 x2+x 2x 1 =Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức= limx1 (x+2) = 3.

Bài 2: Tìm các giới hạn một bên:

a) limx1+ x 3x 1;

b) limx4 x22x + 34 x.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: limx1+(x-1) = 0 và x – 1 > 0 với mọi x > 1

limx1+ (x-3) = 1-3 = -2 <0

Do đó: limx1+ x 3x 1 = – ∞.

b) Ta có: limx4 (4-x) = 0 và 4 – x > 0 với mọi x < 4

limx4 (x2-2x+3) = 42-8+3 = 11 > 0

Do đó: limx4 x22x + 34 x = +∞.

Bài 3: Tính các giới hạn sau:

a) limx+(x3-2x);

b) limx(x3-3x);

c) Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức.

Hướng dẫn giải

a) Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

b) Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

c) Ta có: limx1(x-1) = 0 và x – 1 < 0 với mọi x < 1.

limx1 (2x - 4) = 2.1 - 4 = -2<0.

Do đó, Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Bài 4: Cho hàm số f(x) = 2x2 2x 1 và g(x) = x + 3. Khẳng định nào sau đây là sai?

a) f(x) = g(x).

b) limx1f(x) = limx1 g(x).

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x ≠ 1.

Ta có: f(x) = Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức = 2(x+1) = 2x+2 với mọi x ≠ 1.

Biểu thức g(x) có nghĩa với mọi x.

Do đó f(x) ≠ g(x). Suy ra khẳng định a) là khẳng định sai.

b) limx1 f(x) = limx1 (2x+2) = 4

limx1 g(x) = limx1 (x+3) = 4

Vậy limx1f(x) = limx1g(x), do đó khẳng định b) là khẳng định đúng.

Học tốt Giới hạn của hàm số

Các bài học để học tốt Giới hạn của hàm số Toán lớp 11 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay khác: