Giải Toán 12 trang 73 Tập 1 Cánh diều

---

Với Giải Toán 12 trang 73 Tập 1 trong Bài 2: Toạ độ của vectơ Toán 12 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 73.

Giải Toán 12 trang 73 Tập 1 Cánh diều

Bài 5 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{u}=\left(4;2;3\right)$ và điểm A(1; 1; 1). Tọa độ điểm C thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}$ là:

A. (4; 2; 3).

B. (1; 1; 1).

C. (5; 3; 4).

D. (3; 1; 2).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi tọa độ điểm C là (x_C; y_C; z_C), ta có $\overrightarrow{AC}$  = (x_C – 1; y_C – 1; z_C – 1).

Với $\overrightarrow{u}=\left(4;2;3\right)$ thì ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}$ 

Vậy C(5; 3; 4).

Bài 6 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(3; – 2 ; – 1). Gọi A₁, A₂, A₃ lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx). Tìm toạ độ của các điểm A₁, A₂, A₃.

Lời giải:

Gọi A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂) và A₃(x₃; y₃; z₃).

Với A(3; – 2; – 1), đặt x_A = 3, y_A = – 2, z_A = – 1. Ta có:

+ x₁ = x_A = 3; y₁ = y_A = – 2; z₁ = 0 (vì A­₁ nằm trên mặt phẳng (Oxy)).

Do đó A₁(3; – 2; 0).

+ y₂ = y_A = – 2; z₂ = z_A = – 1; x₂ = 0 (vì A₂ nằm trên mặt phẳng (Oyz)).

Do đó A₂(0; – 2; – 1).

+ x₃ = x_A = 3; z₃ = z_A = – 1; y₃ = 0 (vì A₃ nằm trên mặt phẳng (Ozx)).

Do đó A₃(3; 0; – 1).

Bài 7 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho A(– 2; 3; 4). Gọi H, K, P lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các trục Ox, Oy, Oz. Tìm toạ độ của các điểm H, K, P.

Lời giải:

Gọi H(x₁; y₁; z₁), K(x₂; y₂; z₂) và P(x₃; y₃; z₃).

Với A(– 2; 3; 4), đặt x_A = – 2, y_A = 3, z_A = 4. Ta có:

+ x₁ = x_A = – 2; y₁ = 0; z₁ = 0 (vì H nằm trên trục Ox). Do đó H(– 2; 0; 0).

+ y₂ = y_A = 3; x₂ = 0; z₂ = 0 (vì K nằm trên trục Oy). Do đó K(0; 3; 0).

+ z₃ = z_A = 4; x₃ = 0; y₃ = 0 (vì P nằm trên trục Oz). Do đó P(0; 0; 4).

Bài 8 trang 73 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(4; 6; – 5), B(5; 7; – 4), C(5; 6; – 4), D'(2; 0; 2). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}$  = (5 – 4; 7 – 6; – 4 – (– 5)) = (1; 1; 1).

Gọi tọa độ của điểm D là (x_D; y_D; z_D), ta có $\overrightarrow{DC}$ = (5 – x_D; 6 – y_D; – 4 – z_D).

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD là hình bình hành.

Do đó, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ . Suy ra

Khi đó, D(4; 5; – 5).

Ta có $\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}$  = (2 – 4; 0 – 5; 2 – (– 5)) = (– 2; – 5; 7).

Gọi tọa độ của điểm A' là (x_A'; y_A'; z_A'), ta có $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ = (x_A' – 4; y_A' – 6; z_A' – (– 5)).

Ta có 

Suy ra A'(2; 1; 2).

Gọi tọa độ của điểm B' là (x_B'; y_B'; z_B'), ta có $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$ = (x_B' – 5; y_B' – 7; z_B' – (– 4)).

Ta có 

Suy ra B'(3; 2; 3).

Gọi tọa độ của điểm C' là (x_C'; y_C'; z_C'), ta có $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ = (x_C' – 5; y_C' – 6; z_B' – (– 4)).

Ta có 

Suy ra C'(3; 1; 3).

Vậy D(4; 5; – 5), A'(2; 1; 2), B'(3; 2; 3), C'(3; 1; 3).

Bài 9 trang 73 Toán 12 Tập 1: Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao 30 m và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn.

Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị độ dài trên mỗi trục là l m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm M(90; 0; 30), N(90; 120; 30), P(0; 120; 30), Q(0; 0; 30) (Hình 34).

Giả sử K₀ là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và K₀M = K₀N = K₀P = K₀Q. Để theo dõi quả bóng đến vị trí A, camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm K₁ có cao độ bằng 19 (Nguồn: https:⁄/www.abiturloesumg.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie VI).

Tìm tọa độ của các điểm K₀, K₁ và của vectơ $\overrightarrow{K_0{K}_1}$.

Lời giải:

Gọi M₁, N₁, P₁, K lần lượt là hình chiếu của M, N, P, K₀ lên mặt phẳng (Oxy).

Ta thấy MNPQ.M₁N₁P₁O là hình hộp chữ nhật.

Gọi K' là giao hai đường chéo MP và NQ. Khi đó K'Q = K'P = K'N = K'M.

Vì K₀M = K₀N = K₀P = K₀Q và camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng từ điểm K₀ xuống điểm K₁ nên các điểm K', K₀, K₁, K thẳng hàng.

Khi đó, các điểm K', K₀, K₁, K có hoành độ và tung độ bằng nhau.

Theo bài ra, cao độ của K₀ và K₁ lần lượt là 25 và 19.

Giả sử K₀(x; y; 25) và K₁(x; y; 19).

Ta có MNPQ.M₁N₁P₁O là hình hộp chữ nhật nên K'K = OQ, suy ra cao độ của K' bằng 30. Do đó, K' (x; y; 30).

Ta có $\overrightarrow{K^{\text{'}}Q}=\left(-x;-y;0\right),\overrightarrow{N{K}^{\text{'}}}=\left(x-90;y-120;0\right)$ .

Vì K' là giao hai đường chéo của hình chữ nhật MMPQ nên K' là trung điểm của NQ.

Suy ra

Do vậy, K₀(45; 60; 25), K₁(45; 60; 19) và $\overrightarrow{K_0{K}_1}=\left(0;0;-6\right)$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Toạ độ của vectơ hay khác:

• Giải Toán 12 trang 65

• Giải Toán 12 trang 66

• Giải Toán 12 trang 68

• Giải Toán 12 trang 69

• Giải Toán 12 trang 70

• Giải Toán 12 trang 71

• Giải Toán 12 trang 72