Bài 1.15 trang 19 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 cm. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/cm, trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/cm. Tính các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.15 trang 19 Toán 12 Tập 1: Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 cm³. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/cm², trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/cm². Tính các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi r, h lần lượt là bán kính hình tròn đáy và chiều cao của hình trụ (r, h > 0).

Khi đó ta có V = πr²h = 1000 ⇔ $h=\frac{1000}{\pi r^2}$

Diện tích mặt trên và mặt dưới của bình là 2πr² (cm²).

Chi phí vật liệu sản xuất mặt trên và mặt dưới là 1,2. 2πr² = 2,4πr² (nghìn đồng).

Diện tích mặt bên của bình là 2πrh (cm²).

Chi phí vật liệu sản xuất mặt bên là 0,75. 2πrh = 1,5πrh (nghìn đồng).

Tổng chi phí là: 2,4πr² + 1,5πrh = $\mathrm{2,4}\pi r^2+\frac{1500}{r}$(nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\mathrm{2,4}\pi r^2+\frac{1500}{r}$, r > 0.

Có $y^{\text{'}}=\mathrm{4,8}\pi r-\frac{1500}{r^2}$; $y^{\text{'}}=0\iff \mathrm{4,8}\pi r-\frac{1500}{r^2}=0\iff r=\sqrt[3]{\frac{625}{2\pi }}\approx \mathrm{4,6}$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình nhỏ nhất khoảng 485,6 nghìn đồng khi r khoảng 4,6 cm và h khoảng 15 cm.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

• Mở đầu trang 15 Toán 12 Tập 1: Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng 60 cm, người ta cắt bốn hình vuông ....

• HĐ1 trang 15 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) = x² – 2x với x ∈ [0; 3], có đồ thị như hình 1.15 ....

• Luyện tập 1 trang 17 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau ....

• HĐ2 trang 17 Toán 12 Tập 1: Xét hàm số y = f(x) = x³ – 2x² + 1 trên đoạn [−1; 2] với đồ thị như hình 1.16 ....

• Luyện tập 2 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau ....

• Vận dụng trang 18 Toán 12 Tập 1: Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa ....

• Bài 1.10 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau ....

• Bài 1.11 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau ....

• Bài 1.12 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau ....

• Bài 1.13 trang 19 Toán 12 Tập 1: Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất? ....

• Bài 1.14 trang 19 Toán 12 Tập 1: Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp ....