Giải Toán 12 trang 48 Tập 2 Kết nối tri thức

---

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải bài tập Toán 12 trang 48 Tập 2 trong Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 48.

Giải Toán 12 trang 48 Tập 2 Kết nối tri thức

Luyện tập 10 trang 48 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+t\\ z=1-t\end{array}\right.$ và ${\Delta }_2:\left\{\begin{array}{l}x=s\\ y=1+2s\\ z=3s\end{array}\right.$

Lời giải:

Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm A(1; 3; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}}=\left(2;1;-1\right)$.

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm B(0; 1; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}=\left(1;2;3\right)$.

Có $\left[\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right]=\left(5;-7;3\right)$, $\overrightarrow{AB}=\left(-1;-2;-1\right)$

Có $\overrightarrow{AB}.\left[\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right]=-5+14-3=6\ne 0$

Vậy ∆₁ và ∆₂ chéo nhau.

Vận dụng 3 trang 48 Toán 12 Tập 2: (H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là $\overrightarrow{v_1}=\left(2;1;3\right)$, $\overrightarrow{v_2}=\left(1;2;1\right)$. Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau không?

Lời giải:

Hai vật thể chuyển động trên hai đường thẳng

Vật 1 chuyển động trên đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v_1}$

Vật 2 chuyển động trên đường thẳng đi qua B và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v_2}$

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(2;3;0\right)$ và $\left[\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\right]=\left(-5;1;3\right)$

Có $\overrightarrow{AB}.\left[\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\right]=-10+3=-7\ne 0$

Do đó hai đường thẳng này chéo nhau.

Vậy trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên không va chạm vào nhau.

Bài 5.11 trang 48 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1; 2) và song song với đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+5}{3}$

Lời giải:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;1;3\right)$.

Vì ∆ // d nên đường thẳng ∆ nhận $\overrightarrow{u}=\left(2;1;3\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 1; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;1;3\right)$ có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1+t\\ z=2+3t\end{array}\right.$ và phương trình chính tắc là: $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}$

Bài 5.12 trang 48 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua A(2; −1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y – z – 1 = 0.

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;3;-1\right)$

Vì ∆ ⊥ (P) nên đường thẳng ∆ nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆ đi qua A(2; −1; 4), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;3;-1\right)$ có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+3t\\ z=4-t\end{array}\right.$ và phương trình chính tắc là: $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-4}{-1}$

Bài 5.13 trang 48 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A(2; 3; −1) và B(1; −2; 4).

Lời giải:

Có $\overrightarrow{AB}=\left(-1;-5;5\right)$

Đường thẳng D đi qua hai điểm A(2; 3; −1) và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-1;-5;5\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=3-5t\\ z=-1+5t\end{array}\right.$ và phương trình chính tắc là: $\frac{x-2}{-1}=\frac{y-3}{-5}=\frac{z+1}{5}$

Bài 5.14 trang 48 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-t\\ z=2+3t\end{array}\right.$ và ${\Delta }_2:\frac{x-8}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{2}$

a) Chứng minh rằng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆₁ và ∆₂.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm A(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(2;-1;3\right)$

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm B(8; −2; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=\left(-1;1;2\right)$ 

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(7;-5;0\right)$ và $\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(-5;-7;1\right)\ne \overrightarrow{0}$ (1).

Có $\overrightarrow{AB}.\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=-35+35=0$(2).

Từ (1) và (2) suy ra ∆₁ và ∆₂ cắt nhau.

b) Mặt phẳng (P) chứa ∆₁ và ∆₂ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(-5;-7;1\right).$

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 3; 2), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(-5;-7;1\right)$ có phương trình là: −5(x – 1) – 7(y – 3) + (z – 2) = 0 ⇔ 5x + 7y – z – 24 = 0 .

Bài 5.15 trang 48 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: ${\Delta }_1:\frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{2}$ và ${\Delta }_2:\frac{x-1}{3}=\frac{x+1}{1}=\frac{z}{2}$

a) Chứng minh rằng ∆₁ và ∆₂ song song với nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆₁ và ∆₂.

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ đi qua A(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(3;1;2\right)$

Đường thẳng ∆₂ đi qua B(1; −1; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=\left(3;1;2\right)$

Vì $\overrightarrow{u_1}=\overrightarrow{u_2}=\left(3;1;2\right)$ và A ∉ ∆₂ do đó ∆₁ và ∆₂ song song với nhau.

b) Có $\overrightarrow{AB}=\left(0;-4;-2\right)$

Mặt phẳng (P) chứa ∆₁ và ∆₂ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u_1}\right]=\left(-6;-6;12\right)$

Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 3; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(-6;-6;12\right)$ có phương trình là: −6(x – 1) −6(y – 3) + 12(z – 2) = 0 ⇔ 6x + 6y – 12z = 0 hay x + y – 2z = 0.

Bài 5.16 trang 48 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=1\\ z=3+2t\end{array}\right.$ và ${\Delta }_2:\left\{\begin{array}{l}x=-1+2s\\ y=2+s\\ z=1+3s\end{array}\right.$

Lời giải:

Đường thẳng ∆₁ đi qua A(−1; 1; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(1;0;2\right)$

Đường thẳng ∆₂ đi qua B(−1; 2; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=\left(2;1;3\right)$

Có $\overrightarrow{AB}=\left(0;1;-2\right)$, $\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(-2;1;1\right)\ne \overrightarrow{0}$

Có $\overrightarrow{AB}.\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=1-2=-1\ne 0$

Do đó ∆₁ và ∆₂ chéo nhau.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian hay khác:

• Giải Toán 12 trang 41
• Giải Toán 12 trang 42
• Giải Toán 12 trang 43
• Giải Toán 12 trang 44
• Giải Toán 12 trang 45
• Giải Toán 12 trang 46
• Giải Toán 12 trang 49