Bài 4 trang 84 Toán 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB

Giải Toán 7 Bài tập cuối chương 8 - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 84 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE $⊥$ AN (E $\in$ AN).

a) Chứng minh BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA.

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân.

Lời giải:

a) Xét $△$ BEA vuông tại E và $△$ BEN vuông tại E có:

BA = BN (theo giả thiết).

BE chung.

Suy ra $△$ BEA = $△$ BEN (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Do đó $\hat{E B A} = \hat{E B N}$ (2 góc tương ứng).

Mà BE nằm trong $\hat{A B N}$ nên BE là tia phân giác của $\hat{A B N} .$

b) Tam giác BAN có hai đường cao AH và BE cắt nhau tại K nên K là trực tâm của tam giác BAN.

Do đó NK $⊥$ AB.

Mà AC $⊥$ AB nên NK // AC.

c) Do BE là tia phân giác của $\hat{A B N}$ nên $\hat{A B E} = \hat{N B E}$ .

Xét $Δ A B F$ và $Δ N B F$ có:

AB = NB (theo giả thiết).

$\hat{A B F} = \hat{N B F}$ (chứng minh trên).

BF chung.

Do đó $Δ A B F = Δ N B F$ (c.g.c).

Suy ra AF = NF (2 cạnh tương ứng) và $\hat{B A F} = \hat{B N F} = 90 °$ (2 góc tương ứng).

Do đó FN $⊥$ BC.

Xét $Δ A F G$ vuông tại A và $Δ N F C$ vuông tại N có:

AF = NF (chứng minh trên).

$\hat{A F G} = \hat{N F C}$ (2 góc đối đỉnh).

Do đó $Δ A F G = Δ N F C$ (góc nhọn - cạnh góc vuông).

Suy ra AG = NC (2 cạnh tương ứng).

Mà BA = BN nên BA + AG = BN + NC hay BG = BC.

Tam giác BGC có BG = BC nên tam giác BGC cân tại B.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 8 trang 84 hay, chi tiết khác: