Bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai - Toán lớp 10

---

Bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai

Với Bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai Toán lớp 10 tổng hợp 20 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập nghiệm của phương trình bậc hai từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

Câu 1. Số -1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?

A. x² + 4x + 2 = 0

B. 2x² - 5x - 7 = 0

C. -3x² + 5x - 2 = 0

D. x³ - 1 = 0

Câu 2. Nghiệm của phương trình x² - 7x + 12 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây?

A. y = x² và y = -7x + 12

B. y = x² và y = -7x - 12

C. y = x² và y = 7x + 12

D. y = x² và y = 7x - 12

Câu 3. Nếu m ≠ 0 và n ≠ 0 là các nghiệm của phương trình x² + mx + n = 0 thì tổng m + n bằng:

A. -1/2         B. - 1        C. 1/2        D. 1

Câu 4. Cho phương trình (√3 + 1)x² + (2 - √5)x + √2 - √3 = 0. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Phương trình vô nghiệm

B. Phương trình có 2 nghiệm dương

C. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

D. Phương trình có 2 nghiệm âm

Câu 5. Hai số 1 - √2 và 1 + √2 là các nghiệm của phương trình

A. x² – 2x – 1 = 0        B. x² + 2x – 1 = 0        C. x² + 2x + 1 = 0        D. x² – 2x + 1 = 0

Câu 6. √2 và √3 là hai nghiệm của phương trình

A. x² - (√2 - √3)x - √6 = 0

B. x² - (√2 + √3)x + √6 = 0

C. x² + (√2 + √3)x + √6 = 0

D. x² - (√2 - √3)x - √6 = 0

Câu 7. Giả sử phương trình x² - 3x - m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x₁, x₂. Tính giá trị biểu thức P = x₁²(1 - x₂) + x₂²(1 - x₁) theo m

A. P = -m + 9        B. P = 5m + 9        C. P = m + 9        D. P = -5m + 9

Câu 8. Cho hai phương trình x² - 2mx + 1 = 0 và x²- 2x + m = 0. Có hai giá trị của m để phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tính tổng S của hai giá trị m đó

A. S = -5/4        B. S = 1        C. S = -1/4        D. S = 1/4

Câu 9. Cho phương trình x² + px + q = 0, trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các nghiệm của phương trình là 1. Thế thì p bằng:

A. √(4q + 1)        B. √(4q - 1)        C. -√(4q + 1)        D. Đáp số khác

Câu 10. Nếu a, b, c, d là các số khác 0, biết c và d là nghiệm của phương trình x² + ax + b = 0 và a, b là nghiệm của phương trình x² + cx + d = 0. Thế thì a + b + c + d bằng:

A. -2        B. 0        C. (-1 + √5)/2        D. 2

Câu 11. Biết rằng phương trình x² - 4x + m + 1 = 0 có một nghiệm bằng 3. Nghiệm còn lại của phương trình bằng:

A. -1        B. 1        C. 2        D. 4

Câu 12. Có bao nhiêu giá trị của a để hai phương trình: x² + ax + 1 = 0 và x² – x – a = 0 có một nghiệm chung ?

A. 0        B. vô số        C. 3        D. 1

Câu 13. Cho phương trình: x² – 2a(x – 1) – 1 = 0. Khi tổng các nghiệm và tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng nhau thì giá trị của tham số a bằng

A. a = 1/2 hay a = 1

B. a = –1/2 hay a = –1

C. a = 3/2 hay a = 2

D. a = –3/2 hay a = –2

Câu 14. Giả sử x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình: x² + 3x – 10 = 0. Giá trị của tổng 1/x₁ + 1/x₂ là

A. 10/3        B. – 3/10        C. 3/10        D. – 10/3

Câu 15. Nếu biết các nghiệm của phương trình: x² + px + q = 0 là lập phương các nghiệm của phương trình x²+mx+n=0. Khi đó

A. p + q = m³        B. p = m³ + 3mn         C. p = m³ - 3mn        D. Đáp số khác

Câu 16. Gọi x₁, x₂ là 2 nghiệm của phương trình 2x² – 4x – 1 = 0. Khi đó, giá trị của T = |x₁ - x₂| là:

A. √2        B. 2         C. √6        D. 4

Câu 17. Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình x² – 3x – 1 = 0. Ta có tổng x₁² + x₂² bằng:

A. 8        B. 9        C. 10        D. 11.

Câu 18. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - mx + m - 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất P_min của biểu thức

A. P_min = -2        B. P_min = -1/2        C. P_min = 0        D. P_min = 1

Câu 19. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - 2(m-1)x + 2m² - 3m + 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất P_max của biểu thức P = |x₁ + x₂ + x₁x₂|

A. P_max = 1/4        B. P_max = 1        C. P_max = 9/8        D. P_max = 9/16

Câu 20. Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình 2x² + 2mx + m² - 2 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất P_max của biểu thức P = |2x₁x₂ + x₁ + x₂ - 4|

A. P_max = 4        B. P_max = 2        C. P_max = 25/4        D. P_max = 9/4

Đáp án và hướng dẫn giải

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Đáp án	B	D	B	C	A	B	B	C	A	A

Câu	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Đáp án	B	D	A	C	C	C	D	B	C	C

Câu 1. Chọn B

Xét các đáp án:

- Đáp án A. Ta có (-1)² + 4.(-1) + 2 = -1 ≠ 0

- Đáp án B. Ta có 2.(-1)² - 5.(-1) - 7 = 0

- Đáp án C. Ta có -3.(-1)² + 5.(-1) - 2 = -10 ≠ 0

- Đáp án D. Ta có (-1)³ - 1 = -2 ≠ 0

Câu 2. Chọn D

Ta có x² - 7x + 12 = 0 ⇔ x² = 7x - 12. Do đó, nghiệm của phương trình đã cho có thể xem là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = x² và y = 7x - 12

Câu 3. Chọn B

Theo hệ thức Viet, ta có

Câu 4. Chọn C

Ta có: P = √2 - √3 < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu

Câu 5. Chọn A

Ta có: ⇒ pt: x² - Sx + P = 0 ⇒ x² - 2x - 1 = 0

Câu 6. Chọn B

Ta có: ⇒ pt: x² - Sx + P = 0 ⇒ x² - (√2 + √3)x + √6 = 0

Câu 7. Chọn B

Ta có P = x₁²(1-x₂) + x₂²(1 - x₁) = x₁² - x₁².x₂ + x₂² - x₂².x₁

= x₁² + x₂² - x₁.x₂(x₁ + x₂) = (x₁ + x₂)² - 2x₁.x₂ - x₁.x₂(x₁ + x₂)

Theo định lý Viet, ta có

Thay vào P, ta được P = 3² - 2(-m) - (-m).3 = 5m + 9

Câu 8. Chọn C

Gọi x₀ là nghiệm của phương trình x² - 2mx + 1 = 0. Điều kiện: x₀ ≠ 0

Suy ra 1/x₀ là nghiệm của phương trình x² - 2x + m = 0

Khi đó, ta có hệ

Lấy (1) - (2), ta được x₀²(1 - m) - 2x₀(m - 1) = 0 ⇔ (m - 1)(x₀² + 2x₀) = 0 ⇔

Với x₀ = - 2 thay vào (1), ta được (-2)² - 2m.(-2) + 1 = 0 ⇔ m = -5/4

Vậy tổng tất cả giá trị của m cần tìm là m₁ + m₂ = 1 - 5/4 = -1/4

Câu 9. Chọn A

Gọi x₁, x₂ là nghiệm của x² + px + q = 0 khi đó

Ta có

Câu 10. Chọn A

Vì c, d là hai nghiệm của phương trình x² + ax + b = 0 suy ra c + d = -a

Vì a, b là hai nghiệm của phương trình x² + cx + d = 0 suy ra a + b = -c

Khi đó, ta có hệ

Lại có

Với a = -c thì từ c + d = -a → d = 0: mâu thuẫn giả thiết

Với a = c thì từ c + d = -a → d = -2c và từ a + b = -c ⇒ b = -2c

Ta có

Khi đó S = a + b + c + d = c - 2c + c - 2c = -2c = -2.1 = -2

Câu 11. Chọn B

Vì phương trình đã cho có nghiệm bằng 3 nên thay x = 3 vào phương trình, ta được 9 - 12 + m + 1 = 0 ⇔ m = 2

Với m = 2 phương trình trở thành x² - 4x + 3 = 0 ⇔

Câu 12. Chọn D

Ta có:

Câu 13. Chọn A

Ta có: x² – 2a(x – 1) – 1 = 0 ⇔

Yêu cầu bài toán x₁ + x₂ = x₁² + x₂² ⇒ x₁ + x₂ = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ ⇒ 2a = 4a² - 4a + 2 ⇒

Câu 14. Chọn C

Ta có:

Câu 15. Chọn C

Giả sử phương trình x² + px + q = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ và

Phương trình x² + mx + n = 0 có hai nghiệm phân biệt x₃, x₄

Theo bài ra, ta có

⇔ x₁ + x₂ = x₃³ + x₄³ = (x₃ + x₄)[(x₃ + x₄)² - 3x₃x₄]   (*)

Theo hệ thức Viet, ta có, thay vào (*), ta được - p = - m(m² - 3n)

Vậy p = m(m² - 3n) = m³ - 3mn

Câu 16. Chọn C

Câu 17. Chọn D

Ta có: x₁ + x₂ = 3; x₁x₂ = -1 ⇒ x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 11

Câu 18. Chọn B

Ta có Δ = m² - 4(m - 1) = (m - 2)² ≥ 0, với mọi m

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Theo hệ thức Viet, ta có

Suy ra x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = m² - 2(m - 1) = m² - 2m + 2

Khi đó

Suy ra P ≥ -1/2, ∀m ∈ R. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = -2

Câu 19. Chọn C

Ta có Δ' = (m - 1)² - (2m² - 3m + 1) = -m² + m = m(1 - m)

Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1.     (*)

Theo định lý Viet, ta có

Khi đó

Vì :

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m = 1/4 thỏa mãn (*)

Câu 20. Chọn C

Ta có Δ' = m² - 2(m² - 2) = -m² + 4

Để phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi Δ' = 4 - m² ≥ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2   (*)

Theo định lý Viet, ta có

Khi đó A = |2x₁x₂ + x₁ + x₂ - 4| = |m² - m - 6| = |(m + 2)(m - 3)| = -(m + 2)(m - 3)

= -m² + m + 6 = -(m - 1/2)² + 25/4 ≤ 25/4 (do -2 ≤ m ≤ 2)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m = 1/2 thỏa mãn (*)