Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính - Toán lớp 10

---

Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính

Với Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

A. Phương pháp giải

+ Phương trình x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn nếu:

a² + b² - c > 0. Khi đó; phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(a;b) và bán kính R =

+ Phương trình (x - a)² + (y - b)² = R² là đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phương trình x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (1) . Điều kiện để (1) là phương trình của đường tròn là

A. a² + b² - 4c > 0.    B. a²+ b² - c > 0.    C. a²+ b² - c² > 0.    D. a²+ b² - 2c > 0.

Lời giải

Ta có: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

Tương đương: (x - a)² + (y - b)² = a² + b² - c

Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: a² + b² - c > 0.

Chọn B.

Ví dụ 2. Để x²+ y²- ax - by + c = 0 là phương trình đường tròn, điều kiện cần và đủ là

A. 2a² + 2b² - c > 0.    B. a² + b² - 2c > 0.    C. a² + b² - 4c > 0.    D. a² + b² + c > 0.

Lời giải

Ta có:

x² + y² - ax - by + c = 0 (1)

Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn:

- c > 0 hay a² + b² - 4c > 0

Chọn C.

Ví dụ 3. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
(I) x² + y² – 4x + 15y - 12 = 0.
(II) x² + y² – 3x + 4y + 20 = 0.
(III) 2x² + 2y² - 4x + 6y + 1 = 0 .

A. Chỉ (I).    B. Chỉ (II).    C. Chỉ (III).    D. Chỉ (I) và (III).

Lời giải

Ta xét các phương án:

(I) có: a² + b² - c = 4 + + 12 = > 0

(II) có: a² + b² - c = + - 20 = - < 0

(III) tương đương : x²+ y² – 2x - 3y + 0,5 = 0.

phương trình này có: a² + b² - c = 1 + - = > 0

Vậy chỉ (I) và (III) là phương trình đường tròn.

Chọn D.

Ví dụ 4. Mệnh đề nào sau đây đúng? (1) Đường tròn (C₁) : x²+ y² – 2x + 4y - 4 = 0 có tâm I( 1; -2) bán kính R = 3. (2) Đường tròn (C₂) x²+ y² – 5x + 3y – 0,5 = 0 có tâm
I( ; - ) bán kính R = 3.

A. Chỉ (1).    B. Chỉ (2).    C. cả hai    D. Không có.

Lời giải

Ta có: đường tròn (C₁) : a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R = = 3

Vậy (1) đúng

Đường tròn ( C₂): a = , b = - ⇒ I( ; - ); R = = 3

Vậy (2) đúng.

Chọn C.

Ví dụ 5. Đường tròn 3x² + 3y² - 6x + 9y – 9 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?

A. 2,5    B. 3    C. 2    D. 4

Lời giải

Ta viết lại phương trình đường tròn: x² + y² - 2x + 3y - 3 = 0

Suy ra a = 1; b = -1,5 và c = -3 và bán kính R =

Chọn A.

Ví dụ 6. Cho đường tròn (C) : x² + y² - 4x + 3 = 0 . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. tâm I( 2; 0)    B. bán kính R = 1

C. (C) cắt trục 0x tại 2 điểm.    D. (C) cắt trục Oy tại 2 điểm.

Lời giải

Cho x= 0 ta được : y² + 3 = 0 phương trình vô nghiệm.

Vậy (C) không có điểm chung nào với trục tung.

Chọn D.

Ví dụ 7. Cho đường tròn (C) : x²+ y² + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. (C) không đi qua điểm O.    B. tâm I( -4 ; -3).

C. bán kính R = 4.    D. (C) đi qua điểm M(-1 ; 0) .

Lời giải

+Ta có a = -4; b = -3 ; c = 9 và a² + b² - c = 16 + 9 - 9 = 16 > 0

Suy ra (C) là đường tròn tâm I( -4; -3) và R = 4

Vậy B; C đúng.

+ Thay O vào (C) ta có: 0² + 0² + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 vô lí . Vậy A đúng.

+ Thay M( -1; 0) vào (C) ta có: (-1)² + 0² + 8.(-1) + 6.0 + 9 = 0 ( vô lý). Vậy D sai.

Chọn D.

Ví dụ 8. Đường tròn x² + y² - 10x - 11 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu?

A. 6    B. 2    C. 4    D. √6

Lời giải

Ta có hệ số a = 5; b = 0 và c = -11 nên bán kính là R = = 6

Chọn A.

Ví dụ 9: Cho phương trình: x² + y² - 2mx + 4y + 4 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?

A. m > 1    B. m > 0    C. m ≠ 0    D. m > -1 hoặc m < 2

Lời giải

Phương trình x²+ y² - 2mx + 4y + 4 = 0 có a = m; b = -2 và c = 4.

Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu:

a² + b² - c > 0 hay m² + (-2)² - 4 > 0

⇔ m² > 0 ⇔ m ≠ 0

Chọn C.

Ví dụ 10: Cho phương trình x² + y² - 2mx + 4ny - 4 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(2; 4)?

A. m = 1; n = -2    B. m = 2; n = -2    C. m = 4; n = -4    D. m = -2; n = 2

Lời giải

Phương trình x² + y² - 2mx + 4ny - 4 = 0 có:

a = m; b = -2n và c = -4

Ta có: a²+ b² - c = m² + 4n² + 4 > 0 với mọi m và n.

⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I(m; -2n).

Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I(2; 4) khi và chỉ khi:

Chọn B.

Ví dụ 11. Cho phương trình x² + y² + 2x – my + 1 = 0. Tìm m để phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính R = 2?

A. m = ± 8    B. m = 6    C. m = 10    D. m = ± 4

Lời giải

Phương trình x² + y² + 2x - my + 1 = 0 có:

a = -1; b = và c = 1

Để phương trình trên là phương trình đường tròn nếu: a²+ b²- c > 0

⇔ 1 + - 1 > 0 ⇔ > 0 ⇔ m ≠ 0.

Với điều kiện m ≠ 0 thì phương trình trên là phương trình đường tròn có bán kính là:

R =

Theo đề bài ta có: R = 2 nên = 2

⇔ ( thỏa mãn điều kiện )

Chọn A.

Ví dụ 12. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?

A. 4x² + y² – 10x - 6y - 22 = 0    B. x² + y² - 2x - 8y + 20 = 0

C. x² + 2y² - 4y - 8y + 1 = 0    D. x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0

Lời giải

Xét phương trình dạng : x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 lần lượt tính các hệ số a ; b ; c. Để phương trình trên là phương trình đường tròn điều kiện là a² + b² - c > 0 .

+ Xét phương án D : có a = 2 ;b = 3 và c = -12

⇒ a² + b² - c = 4 + 9 + 12 = 25 > 0

⇒ Phương trình x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 là phương trình đường tròn.

+ Các phương trình 4x² + y² - 10x - 6y - 2 = 0 và x² + 2y²- 4x - 8y + 1 = 0 không có dạng đã nêu loại các đáp án A và C.

+ Phương án x² + y² - 2x - 8y + 20 = 0 không thỏa mãn điều kiện a² + b² - c > 0.

Chọn D.

Ví dụ 13. Cho phương trình x² + y² + 2mx + 2(m-1)y + 2m² = 0 (1) . Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.

A. m <    B. m ≤    C. m > 1    D. m = 1

Lời giải

Ta có: trình x² + y² + 2mx + 2(m-1)y + 2m² = 0

⇒ a = -m; b = 1 - m; c = 2m²

Để phương trình trên là phương trình đường tròn thì:

a² + b² - c > 0 ⇔ m² + ( 1 - m)² - 2m² > 0

⇔ m² + 1 - 2m + m² - 2m² > 0

⇔ 1 - 2m > 0 ⇔ m <

Chọn A.

Ví dụ 14. Cho phương trình x² + y² - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0 (1). Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.

A. đúng mọi m    B. m ∈( -∞; 1) ∪ ( 2; +∞)

C. m ∈ ( -∞; 1] ∪ [2; +∞)    D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: x² + y² - 2mx - 4(m - 2)y + 6 - m = 0 có:

a = m; b = 2m - 4; c = 6 - m

Để phương trình trên là phương trình đường tròn ⇔ a² + b² - c > 0.

⇔ m² + ( 2m - 4)² - (6 - m) > 0

⇔ m² + 4m² – 16m + 16 – 6 + m > 0

⇔ 5m² - 15m + 10 > 0 ⇔ m ∈ ( -∞; 1) ∪ ( 2; +∞)

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Đường tròn 2x² + 2y² - 8x + 4y - 4 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?

A. (8; -4)    B. ( 4; -2)    C. ( -4; 2)    D. (2; -1 )

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Ta viết lại phương trình đường tròn: x² + y² - 4x + 2y- 4 = 0

Ta có: nên tâm I( 2; -1) .

Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?

A. x² + y² + 2x - 4y + 9 = 0    B. x² + y² - 6x + 4y + 13 = 0

C. 2x² + 2y² - 8x - 4y - 6 = 0    D. 5x² + 4y² + x - 4y + 1 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Ta xét các phương án:

+Phương án D loại vì không có dạng x² + y² - 2ax - 2by + c = 0

+Phương án A : có a = -1 ; b = 2 và c = 9

⇒ a² + b² - c = 1 + 4 - 9 = - 4 < 0

⇒ Phương án A không là phương trình đường tròn.

+ Phương án B : có a = 3; b = -2 ; c = 13

⇒ a² + b² - c = 9 + 4 - 13 = 0

⇒ loại B.

+ Phương án C:

2x² + 2y² - 8x - 4y - 6 = 0 ⇔ x² + y² - 4x - 2y - 3 = 0

Có a = 2; b = 1; c = -3

⇒a² + b² - c = 4 + 1 + 3 = 8 > 0

⇒ Đây là phương trình đường tròn

Câu 3: Cho đường cong (C) : x² + y² - 8x + 10y + m = 0. Với giá trị nào của m thì (C) là đường tròn có bán kính bằng 7 ?

A. m = 4    B. m = 8    C. m = -8    D. m = -2

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có a = 4; b = - 5 và c = m.

Bán kính đường tròn là: R =

Để bán kính đường tròn là 7 thì: = 7 ⇔ = 7.

⇔ 41 - m = 49 ⇔ m = -8

Câu 4: Phương trình x² + y² - 2(m + 1)x - 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi

A. m < 0    B. m < 1    C. m > 1    D. m < - 1 hoặc m > 1.

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Ta có:

x² + y² - 2(m + 1)x - 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0(1)

⇔ x² - 2(m + 1)x + (m + 1)² + y² - 2(m + 2)y + (m + 2)² - (m + 1)² - (m + 2)² + 6m + 7 = 0

⇔ [x - (m + 1)]² + [y - (m + 2)]² = 2m² - 2)

Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: 2m² - 2 > 0 ⇔

Câu 5: Tìm m để phương trình x² + y² - 2mx + 4y + 8 = 0 không phải là phương trình đường tròn.

A. m < - 2 hoặc m > 2.    B. m > 2    C. -2 ≤ m ≤ 2    D. m < - 2

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có: x² + y² - 2mx - 4y + 8 = 0(1)

⇔ x² - 2mx + m² + y² - 2.2.y + 2² - m² - 2² + 8 = 0 ⇔ (x - m)² + (y - 2)² = m² - 4

Vậy điều kiện để (1) không phải là phương trình đường tròn:

m² - 4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2

Câu 6: Cho hai mệnh đề
(I) (x - a)² + (y - b)² = R² là phương trình đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R.
(II) x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I(a; b).
Hỏi mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I).    B. Chỉ (II).

C. Cả (I) và (II) đều sai.    D. Cả (I) và (II).

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

(I) đúng, (II) sai vì thiếu điều kiện a² + b² - c > 0.

Câu 7: Mệnh đề nào sau đây đúng?
(I) Đường tròn (C₁) có tâm I( 1; -2) bán kính R = 3.
(II) Đường tròn (C₂) có tâm bán kính R = 3.

A. Chỉ (I).    B. Chỉ (II).    C. (I) và (II).    D. Không có.

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có: đường tròn (C₁) : a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R = = 3

Vậy (1) đúng

Đường tròn ( C₂): a = , b = - ⇒ I( ; - ); R = = 3

Vậy (2) đúng.

Câu 8: Cho đường tròn (C): x² + y² + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. ( C) không đi qua điểm O(0 ; 0) .    B. ( C) có tâm I( -4 ; -3) .

C. ( C) có bán kính R = 4.    D. ( C ) đi qua điểm M( -1 ; 0) .

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Đường tròn ( C)có:

a = -4, b = -3 ⇒ I(-4; -3); R = = 4. Vậy B; C đúng.

Thay O(0; 0) vào ( C) ta có: 0² + 0² + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 9 = 0 ( vô lý).

⇒ đường tròn ( C) không đi qua điểm O . Vậy A đúng.

Thay M( -1; 0) vào ( C) ta có: (-1)² + 0² + 8.(-1) + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 2 = 0 ( vô lý).

⇒ Đường tròn ( C) không đi qua điểm M( -1; 0) . Vậy D sai.

Câu 9: Cho đường tròn (C)2x² + 2y² - 4x + 8y + 1 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ( C) không cắt trục Oy.    B. ( C) cắt trục Ox tại hai điểm.

C. ( C) có tâm I (2 ; -4) .    D. ( C) có bán kính R = √19 .

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

+ Ta viết lại phương trình đường tròn(C) ⇔ x² + y² - 2x + 4y + = 0

⇒ a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R =

Vậy C; D sai.

+ Cho x = 0 thì (C): 2y² + 8y + 1 = 0 ⇔ y = hoặc y =

Do đó ( C) cắt trục Oy tại hai điểm phân biệt. Vậy A sai

+ Cho y = 0 thì (C): 2y² + 8y + 1 = 0 ⇔ y = hoặc y =

Do đó ( C) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt. Vậy B đúng

Câu 10: Đường tròn x² + y² – 6x - 8y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?

A. 10    B. 25    C. 5    D. √10.

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Đường tròn x² + y² - 6x - 8y = 0 có a = 3; b = 4 và c = 0

⇒ a² + b² – c = 9 + 16 - 0 = 25 > 0

⇒ Phương trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính là:

R = = 5 .

Câu 11: Đường tròn x² + y² – 5y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?

A. √5    B. 25    C.    D.

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Đường tròn có a = 0; b = và c = 0.

⇒ Bán kính đường tròn là : R = =

Câu 12: Đường tròn x² + y² + - √3 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?

A. (0; )    B. (- ; 0)    C. (√2; √3)    D. ( ; 0)

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Ta có: nên tâm I(- ; 0) .

Câu 13: Đường tròn 2x² + 2y² – 8x + 4y - 1 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây?

A. (-2; 1)    B. (8; -4)    C. (-8; 4)    D. (2; -1)

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Ta có ( C) : 2x² + 2y² - 8x + 4y - 1 = 0 ⇔ x² + y² - 4x + 2y - = 0

⇒ a = 2; b = - 1 nên tâm đường tròn là I ( 2; -1) .

Câu 14: Cho phương trình: x² + y² - 8mx + 6y + 9 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?

A. m > 1    B. m > 0    C. m ≠ 0    D. m > -1 hoặc m < 2

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Phương trình x² + y² - 8mx + 6y + 9 = 0 có a = 4m; b = -3 và c = 9.

Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu:

a² + b² - c > 0 hay (4m)² + (-3)² - 9 > 0

⇔ 16m² > 0 ⇔ m ≠ 0

Câu 15: Cho phương trình x² + y² - 6mx + 8ny - 1 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(-6; 8)?

A. m = 1; n = -2    B. m = -2; n = -2    C. m = 4; n = -4    D. m = -2; n = 2

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Phương trình x² + y² - 6mx + 8ny - 1 = 0 có:

a = 3m; b = -4n và c = -1

Ta có: a² + b² - c = 9m² + 16n² + 1 > 0 với mọi m và n.

⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I(3m; -4n).

Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I(2; 4) khi và chỉ khi:

Câu 16: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?

A. x² + y² - x - y + 9 = 0.    B. x² + y² - x = 0

C. x² + y² - 2xy – 1 = 0    D. x² - y² - 2x + 3y - 1 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Loại C vì có số hạng -2xy.

Phương án A: a = b = , c = 9 ⇒ a² + b² - c < 0 nên không phải phương trình đường tròn.

Phương án D: loại vì có – y² .

Phương án B: a = ,b = 0, c = 0 ⇒ a² + b² - c > 0 nên là phương trình đường tròn.

Câu 17: Cho phương trình x² + y² - 2x + 2my + 10 = 0 (1). Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn?

A. Không có.    B. 6    C. 7    D. Vô số

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Phương trình : x² + y² - 2x + 2my + 10 = 0 có : a = 1;b = -m và c = 10

Để phương trình trên là phương trình đường tròn khi và chỉ khi:

a² + b² - c > 0 ⇔ 1 + m² - 10 > 0

⇔ m² - 9 > 0 ⇔

⇒Các giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn là : m ∈ { 4; 5; 6; 7; … ; 10}

Câu 18: Cho phương trình x² + y² - 2(m + 1)x + 4y - 1 = 0 (1). Với giá trị nào của m để (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?

A. m = 2    B. m = -1    C. m = 1    D. m = -2

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Phương trình x² + y² - 2(m + 1)x + 4y - 1 = 0 có hệ số:

a = m + 1; b = - 2 và c = -1

Để (1) là phương trình đường tròn thì: a² + b² - c > 0

⇔ (m + 1)² + 4 + 1 > 0 ⇔(m + 1)² + 5 > 0 luôn đúng với mọi m vì (m + 1)³ ≥0

Vậy với mọi m ( 1) luôn là phương trình đường tròn có bán kính :

R =

⇒ R_min khi và chỉ khi (m + 1)² + 5 min

⇔ m + 1 = 0 hay m = -1