Cách giải bài toán Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng - Toán lớp 10

---

Cách giải bài toán Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Với Cách giải bài toán Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải bài toán Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

A. Phương pháp giải

+ Cho đường tròn ( C) tâm I( a;b) bán kính R và đường thẳng d.

Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) khi và chỉ khi : d(I, d)= R

+ Trục tung có phương trình x= 0 nên để đường tròn tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi:

= R hay R = |a|

+ Trục hoành có phương trình y= 0 để đường tròn tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi:

= R hay R = |b|.

+ Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ khi và chỉ khi:

R = |a| = |b|.

Chú ý: Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0 và điểm M(x0; y0) . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: d(M; d) =

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Đường tròn (C) tâm I( -4; 3) và tiếp xúc với trục tung có phương trình là

A. x² + y² - 4x + 3y + 1 = 0.    B. (x + 4)² + (y - 3)² = 16.

C. (x - 4)² + (y + 3)² = 9.    D. x² + y² + 8x - 6y + 1 = 0.

Lời giải

Do đường tròn (C) tiếp xúc với trục tung Oy và có tâm I( -4; 3) nên:

a = - 4; b = 3 và R = |a| =4.

Do đó, (C) có phương trình: (x + 4)² + (y - 3)² = 16.

Chọn B.

Ví dụ 2: Đường tròn (C) tâm I( 4;3) và tiếp xúc với đườngthẳng ∆: 3x - 4y + 5 = 0 có phương trình là

A. (x - 4)² + (y - 3) 2 = 2.    B. (x - 4)² + (y - 3)² = 1.

C. (x - 4)² + (y - 3)² = 4.    D. (x - 4)² + (y - 3)² = 3

Lời giải

Do đường tròn ( C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ bằng bán kính đường tròn .

⇒ (C) có bán kính R = d(I, ∆) = = 1.

Do đó, (C) có phương trình : (x - 4)² + (y - 3)² = 1.

Chọn B.

Ví dụ 3: Cho đường tròn (C): x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 (a² + b² - c > 0) . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. ( C) có bán kính R =

B. ( C) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi b² = R².

C. ( C) tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi a = R.

D. ( C) tiếp xúc với trục tung khi và chỉ khi b² = c.

Hướng dẫn giải

Xét phương án C:

( C) tiếp xúc với trục tung Oy khi và chỉ khi: d(I, y'oy) = R ⇔ |a| = R.

Do đó đáp án sai vì nếu a = - 9 ⇒ R = -9 < 0 (vô lý)

Chọn C.

Ví dụ 4: Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đường tròn (x + 2)² + (y - 3)² = 9 tiếp xúc với trục tung.
Đường tròn (x - 3)² + (y + 3)² = 9 tiếp xúc với các trục tọa độ.

A. Chỉ (I).    B. Chỉ (II).    C. Cả (I) và (II).    D. Không có.

Hướng dẫn giải

+ Xét đường tròn : (x + 2)² + ( y - 3)² = 9 có a = -2; b = 3 và R = 3

Vì |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với trục hoành Ox nên ( I) sai.

+ Xét đường tròn: ( x - 3)² + (y + 3)² = 9 có a = 3; b = -3 và R = 3

Vì |a| = |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ nên (II) đúng.

Chọn B.

Ví dụ 5: Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d): 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn x² + y² - 9 = 0 ?

A. m = ±15    B. m = ±√3    C. m = - 3    D. m = 3

Hướng dẫn giải

Đường tròn x² + y² - 9 = 0 có tâm I (0; 0) và bán kính R = 3.

Khoảng cách từ tâm I(0; 0) đến đường thẳng (d) là

d(I; d) =

Để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi: d(I;d)= R

⇔ = 3 ⇔ |m| = 15 nên m = ± 15

Chọn A.

Ví dụ 6: Đường tròn có tâm O và tiếp xúc với đường thẳng d : x + y - 4√2 = 0 . Hỏi bán kính của đường tròn bằng bao nhiêu?

A. 4√2    B. 4    C. 2    D. 8

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ tâm O(0; 0) đến đường thẳng (d) là

d(O; d) = = 4

Để đường tròn tâm O tiếp xúc với đường thẳng d thì khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d bằng bán kính R.

⇒ Bán kính đường tròn ( C): R = 4.

Chọn B.

Ví dụ 7: Nếu đường tròn (C): (x - 1)² + (y - 3)² = R² tiếp xúc với đường thẳng d: 5x + 12y - 60 = 0 thì giá trị của R là:

A. 2√2    B.    C. √5    D. √2

Hướng dẫn giải

Đường tròn (C): (x - 1)² + (y - 3)² = R² có tâm I (1; 3) bán kính R.

Đường thẳng d: 5x + 12y - 60 = 0 tiếp xúc với đường tròn (C) khi

R = d( I; d) = =

Chọn B.

Ví dụ 8: Cho phương trình x² + y² - 4x + 2my + m² = 0 (1). Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Phương trình ( 1) là phương trình đường tròn, với mọi giá trị của m.

B. Đường tròn (1) luôn tiếp xúc với trục tung.

C. Đường tròn ( 1) tiếp xúc với các trục tọa độ khi và chỉ khi m = 2.

D. Đường tròn (1) có bán kính R = 2.

Hướng dẫn giải

+ Xét x² + y² - 4x + 2my + m² = 0 có a = 2; b = -m và c = m²

⇒ a² + b² - c = 4 + m² - m² = 4 > 0 với mọi m nên A và D đúng.

+ Vì a = R = 2 nên B đúng.

+ Từ đó suy ra C sai, vì đường tròn tiếp xúc với trục hoành Ox khi và chỉ khi

|b| = |m| = 2 ⇔ m = ±2

Chọn C .

Ví dụ 9 . Đường tròn x² + y² + 4y = 0 không tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây?

A. x - 2 = 0    B. x + y - 3 = 0    C. x + 2 = 0    D. Trục hoành.

Hướng dẫn giải

Đường tròn có tâm I( 0; -2) , bán kính R = 2.

– Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (Δ₁) : x - 2 = 0

d(I, Δ₁) = = 2 = R ⇒ (C) tiếp xúc (Δ₁)

– Tương tự: ( C) tiếp xúc (Δ₂): x + 2 = 0; ( C) tiếp xúc trục hoành Ox: y= 0

– Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (Δ₃) :

d(I,Δ₃)= ≠ R

⇒ ( C ) không tiếp xúc (Δ₃)

Chọn B.

Ví dụ 10. Đường tròn (C) đi qua điểm M(2; -1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox; Oy có phương trình là:

A. (x + 1)² + (y - 1)² = 1 hoặc (x + 5)² + (y - 5)² = 25

B. (x - 1)² + (y + 1)² = 1

C. ( x - 5)² + (y + 5)² = 25

D. (x - 1)² + (y + 1)² = 1 hoặc ( x - 5)² + (y + 5)² = 25

Lời giải

Gọi tâm đường tròn là I = ( a; b)

Do đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên R = d(I; Ox) = d(I; Oy)

⇔ R = |a| = |b|.

Vì đường tròn đi qua điểm M(2; -1) thuộc góc phần tư thứ tư (IV) nên a = - b và a > 0

⇒ I( a; -a)

Ta có: R = IM ⇔ R² = IM² ⇔ a² = ( a - 2)² + (-a + 1)²

⇔ a² = a² - 4a + 4 + a² - 2a + 1

⇔ a² - 6a + 5 = 0 ⇔ a = 1 hoặc a = 5

+ Với a = 1 thì tâm đường tròn là I (1; -1) và bán kính R = 1

⇒ Phương trình ( C): ( x - 1)² + ( y + 1)² = 1.

+ Với a = 5 thì tâm đường tròn là I (5; -5) và bán kính R = 5

⇒ Phương trình đường tròn là ( x - 5)² + (y + 5)² = 25

Chọn D.

Ví dụ 11 : Với những giá trị nào của m thì đường thẳng ∆ : 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn ( C): x² + y² - 9 = 0.

A. m = -3    B. m = 3 và m = -3 .    C. m = 3    D. m = 15 và m = -15

Hướng dẫn giải

Đường tròn (C) có tâm I(0; 0) và bán kính R = 3.

Để ∆ tiếp xúc ( C) khi và chỉ khi :

d(I, Δ) = R ⇔ = 3 ⇔

Chọn D.

Ví dụ 12. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Ox?

A. x² + y² - 2x - 10y = 0    B. x² + y² + 6x + 5y + 9 = 0

C. x² + y² - 10y + 1= 0    D. x² + y² - 5 = 0

Hướng dẫn giải

Đường tròn: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 tiếp xúc với trục Ox khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn I( a; b) đến trục Ox: y = 0 là bằng R.

⇔ |b|=R

+ Phương án A: là đường tròn có a = 1; b = 5 và c = 0 nên bán kính đường tròn là
R = = √26

⇒ |b| ≠ R nên đường tròn này không tiếp xúc với trục Ox.

+ Phương án B là đường tròn có a = -3; b = và c = 9

⇒ R =

⇒ |b| = R nên đường tròn này tiếp xúc với trục Ox.

+ Tương tự các đường tròn ở phương án C và D không tiếp xúc với trục Ox

Chọn B.

Ví dụ 13. Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy?

A. x² + y² - 10y + 1= 0    B. x² + y² + 6x + 5y - 1 = 0

C. x² + y² - 2x = 0    D. x² + y² - 5 = 0

Hướng dẫn giải

Đường tròn: x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 tiếp xúc với trục Oy khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn I( a; b) đến trục Oy: x= 0 là bằng R.

⇔ |a| = R.

+ Phương án A: Là đường tròn có a = 0; b = 5 và c = 1 nên bán kính

R = = √26

⇒|a| ≠ R nên đường tròn này không tiếp xúc với Oy.

+ Phương án B: là đường tròn có a = -3; b = - và c = - 1 nên

R =

⇒ |a| ≠ R nên đường tròn này không tiếp xúc với Oy.

+ Phương án C: là đường tròn có a = 1; b = 0; c = 0 nên R = 1

⇒ |a| = R nên đường tròn này tiếp xúc với Oy.

Chọn C.

Ví dụ 14: Cho đường tròn (C); x² + y² + 2x – 6y + 5 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng (a) : x + 2y - 15 = 0 là

A. x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0    B. x + 2y = 2 và x + 2y + 8 = 0

C. x + 2y + 2 = 0 và x + 2y - 8 = 0    D. tất cả sai

Hướng dẫn giải

Đường tròn (C) có tâm I( -1;3) và bán kính R = = √5.

Do tiếp tuyến d song song với đường thẳng a nên d có dạng: x + 2y - m = 0

d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi:

d(I, d) = R ⇔ = √5 ⇔ |m-5|=5

Chọn A.

Ví dụ 15. Đường tròn ( C) có tâm I( -2; - 3) và tiếp xúc với đường thẳng
(d): 3x - 4y - 1 = 0 có phương trình là:

A. (x + 2)² + (y + 3)² = 1    B. (x - 2)² + (y - 3)² = 4

C. (x - 2)² + (y - 3)² = 9    D. ( x + 2)² + ( y + 3)² = 4

Lời giải

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là :

d(I; d) = = 1

Mà đường tròn ( C) tiếp xúc với đường thẳng d nên R = 1

⇒ Phương trình đường tròn( C):

(x + 2)² + (y + 3)² = 1

Chọn A.

Ví du 16. Đường tròn (C) có tâm I( 2; 3) và tiếp xúc với đường thẳng
(d): 6x - 8y + 22 = 0 có phương trình là:

A. ( x + 2)² + (y - 3)² = 4    B. (x - 2)² + ( y - 3)² = 1

C. (x + 2)² + (y + 3)² = 9    D. Tất cả sai

Lời giải

Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là :

d(I; d) = = 1

Mà đường tròn ( C) tiếp xúc với đường thẳng d nên R= 1

⇒ Phương trình đường tròn( C): (x - 2)² + (y - 3)² = 1

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Đường tròn x² + y² = 1 tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây

A. x + y = 0    B. 3x + 4y - 1 = 0.    C. 3x - 4y + 5 = 0.    D. x + y - 1 = 0.

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Đường tròn ( C) có tâm O( 0; 0) , bán kính R= 1.

– Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (Δ₁): x + y = 0

d(O, Δ₁) = = 0 ≠ R nên ( C) không tiếp xúc (Δ₁)

– Tương tự, ( C) không tiếp xúc (Δ₂): 3x + 4y - 1 = 0; (Δ₃): x + y - 1 = 0 ;

– Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng (Δ₄): 3x - 4y + 5 = 0

d(O, Δ₄) = = 1 = R nên ( C) tiếp xúc (Δ₄)

Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C) : ( x - 3)² + (y + 1)² = 5, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0.

A. 2x + y + 1 = 0 hoặc 2x + y - 1 = 0    B. 2x + y = 0 hoặc 2x + y - 10 = 0

C. 2x + y + 10 = 0 hoặc 2x + y - 10 = 0    D. 2x + y = 0 hoặc 2x + y + 10 = 0

Lời giải:

Đáp án:

Trả lời:

+ Đường tròn (C) có tâm I(3; -1) và bán kính R = √5.

+ Do tiếp tuyến ∆ // d: 2x + y + 7 = 0 nên đường thẳng ∆ có dạng:

∆: 2x + y + c = 0 ( với c ≠ 7) .

+ Do đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ bằng bán kính R: R = d( I; ∆) .

⇔ = √5 ⇔|5 + c| = 5

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là 2x + y = 0 và 2x + y - 10 = 0

Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C): x² + y² + 4x + 4y - 17 = 0, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 3x - 4y - 2000 = 0.

A. 3x - 4y + 23 = 0 hoặc 3x - 4y - 27 = 0

B. 3x - 4y + 23 = 0 hoặc 3x - 4y + 27 = 0

C. 3x - 4y - 23 = 0 hoặc 3x - 4y + 27 = 0

D. 3x - 4y - 23 = 0 hoặc 3x - 4y - 27 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ Đường tròn (C) có tâm I( -2; -2) và bán kính R = = 5.

+ Do tiếp tuyến ∆ của đường tròn song song với đường thẳng d: 3x - 4y - 2000 = 0 nên đường thẳng ∆ có dạng: ∆ 3x - 4y + c = 0 ( với c ≠ -2000)

+ Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn ( C) nên khoảng cách từ tâm I đến ∆ bằng bán kính R: d( I; ∆) = R

⇔ = 5 ⇔ |2 + c| = 25

⇔

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là : 3x - 4y + 23 = 0 và 3x - 4y - 27 = 0

Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C): (x - 2)² + (y - 1)² = 25, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x - 4y + 3 = 0.

A. 4x + 3y + 14 = 0 hoặc 4x + 3y - 36 =0

B. 4x + 3y + 14 = 0

C. 4x + 3y - 36 = 0

D. 4x + 3y -14 = 0 hoặc 4x + 3y + 36 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) và bán kính R= 5.

+ Đường thẳng d có VTPT n_d→( 3; -4)

+ Do tiếp tuyến ∆ vuông góc với đường thẳng d nên tiếp tuyến nhận n_d→( 3; -4) làm VTCP. Suy ra một VTPT của ∆ là: n→( 4; 3) .

⇒ Tiếp tuyến ∆ có dạng: 4x + 3y + c = 0

+ Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn nên: d(I; ∆) = R

⇔ = 5 ⇔ |11 + c| = 25

⇔

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là : 4x + 3y + 14 = 0 và 4x + 3y - 36 = 0

Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C): (x - 2)² + (y + 4)² = 25, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0.

A. 4x - 3y + 5 = 0 hoặc 4x - 3y - 45 = 0    B. 4x + 3y + 5 = 0 hoặc 4x + 3y + 3 = 0

C. 4x + 3y + 29 = 0    D. 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y- 21 = 0

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

+ Đường tròn (C) có tâm I( 2; -4) và bán kính R= 5.

+ Do tiếp tuyến ∆ vuông góc với đường thẳng d nên ∆ nhận n_d→(3; - 4) làm VTCP. Suy ra một VTPT của ∆ là n→( 4; 3) .

⇒ Phương trình ∆ có dạng: 4x + 3y + c = 0

+ Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn nên d( I; ∆) = R

⇔ = 5 ⇔ |c - 4| = 25

⇔

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: 4x + 3y + 29 = 0 và 4x + 3y - 21 = 0

Câu 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C): x² + y² + 4x - 2y - 8 = 0, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: 2x - 3y + 2018 = 0.

A. 3x + 2y - 17 = 0 hoặc 3x + 2y - 9 = 0     B. 3x + 2y + 17 = 0 hoặc 3x + 2y + 9 = 0

C. 3x + 2y + 17 = 0 hoặc 3x + 2y - 9 = 0    D. 3x + 2y - 17 = 0 hoặc 3x + 2y + 9 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường tròn (C) có tâm I( -2; 1) và bán kính R= = √13

+ Do tiếp tuyến ∆ vuông góc với đường thẳng d nên ∆ nhận n_d→(2; -3) làm VTCP. Suy ra một VTPT của ∆ là n→( 3; 2) .

⇒ Phương trình ∆ có dạng: 3x + 2y + c = 0

+ Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn nên d( I; ∆) = R

⇔ = √13 ⇔ = √13

⇔|c - 4| = 13 ⇔

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là 3x + 2y + 17 = 0 và 3x + 2y - 9 = 0

Câu 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C): x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0, biết tiếp tuyến vuông góc với trục hoành.

A. x = 0    B. y = 0 hoặc y - 4 = 0.

C. x = 0 hoặc x - 4 = 0    D. y = 0

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = = 2 .

+ Trục hoành có phương trình là ∆: y = 0 .

+ Vì tiếp tuyến d cần tìm vuông góc với trục hoành nên nhận n_∆→(0; 1) làm VTCP. Suy ra một VTPT của đường thẳng d là: n→( 1; 0).

⇒ đường thẳng d có dạng: x + c = 0

+ Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn nên d(I; d) = R

⇔ = 2 ⇔ |2 + c| = 2

⇔

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là : x = 0 và x - 4 = 0

Câu 8: Đường tròn ( C) đi qua điểm A( 2; 4) và tiếp xúc với các trục tọa độ có phương trình là

A. (x - 2)² + (y - 2)² = 4 hoặc (x - 10)² + (y - 10)² = 100

B. (x + 2)² + (y + 2)² = 4 hoặc (x - 10)² + (y - 10)² = 100

C. (x + 2)² + (y + 2)² = 4 hoặc (x + 10)² + (y + 10)² = 100

D. (x - 2)² + (y - 2)² = 4 hoặc (x + 10)² + (y + 10)² = 100

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Gọi phương trình đường tròn ( C) : ( x-a)² + (y-b)² = R²

Do đường tròn (C) tiếp xúc với hai trục tọa độ nên |a| = |b| = R

Lại có điểm A( 2; 4)∈( C) và A nằm trong góc phần tư thứ nhất nên tâm I cũng ở góc phần tư thứ nhất.

Suy ra a = b = R.

Vậy phương trình đường tròn có dạng : (x - a)² + (y - a)² = a² (C) .

Do A ( 2; 4)∈( C)nên ( 2 - a)² + (4 - a)² = a² ⇔ 4 - 4a + a² + 16 - 8a + a² = a²

⇔ a² - 12a + 20 = 0

Câu 9: Đường tròn ( C) có tâm I(-1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 có phương trình là

A. (x + 1)² + (y - 3)² = 4    B. (x + 1)² + (y - 3)² = 2

C. (x + 1)² - (y - 3)² = 10    D. (x - 1)² + (y - 3)² = 2

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Do đường tròn ( C) tiếp xúc với đường thẳng d nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d bằng bán kính R.

⇒ Đường tròn có bán kính R = d(I, d) = = 2

Vậy phương trình đường tròn là: (x + 1)² + (y - 3)² = 4

Câu 10: Có một đường tròn đi qua hai điểm A( 1; 3), B( -2; 5) và tiếp xúc với đường thẳng d: 2x - y + 4 = 0. Khi đó

A. phương trình đường tròn là x² + y² - 3x + 2y - 8 = 0 .

B. phương trình đường tròn là x² + y² + 3x - 4y + 6 = 0.

C. phương trình đường tròn là x² + y² - 5x + 7y + 9 = 0 .

D. Không có đường tròn nào thỏa mãn bài toán.

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Đặt f(x; y) = 2x - y + 4.

Ta có: f( 1; 3) = 2.1 - 3 + 4 = 3 > 0 và f( -2; 5) = 2.(-2) - 5 + 4 = - 5 < 0 .

⇒ f( 1; 3).f(- 2; 5) < 0

⇒ A và B nằm khác phía đối với đường thẳng d; do đó không có đường tròn nào thỏa điều kiện đề bài.

Câu 11: Đường tròn (C) có tâm I( -1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 3x – 4y + 5 = 0 tại điểm H có tọa độ là

A. (- ; - )    B. ( ; )    C. ( ; - )    D. (- ; )

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d tại H nên IH và d vuông góc với nhau.

Đường thẳng IH: qua I( -1; 3) và nhận VTCP ( 3; -4) nên có VTPT n→( 4; 3) nên có phương trình là :

4( x + 1) + 3( y - 3) = 0 hay 4x + 3y – 5 = 0.

Ta có: IH và d cắt nhau tại H nên tọa độ của H là nghiệm hệ:

Câu 12: Mệnh đề nào sau đây đúng?
(1) Đường tròn (x + 2)² + (y - 3)² = 9 tiếp xúc với trục tung.
(2) Đường tròn (x - 3)² + (y + 3)² = 9 tiếp xúc với các trục tọa độ.

A. Chỉ (1).    B. Chỉ (2).    C. Cả (1) và (2).    D. Không có.

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

+ (x + 2)² + (y - 3)² = 9 có tâm I( -2; 3) và R = 3

Vì |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với trục Ox nên (1) sai.

+ Đường tròn (x - 3)² + (y + 3)² = 9 tâm J( 3; -3) và R = 3.

Vì |a| = |b| = 3 = R nên đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ nên (2) đúng.

Câu 13: Đường tròn (C) đi qua điểm M (2;1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox; Oy có phương trình là:

A. (x - 1)² + (y - 1)² = 1 hoặc (x - 5)² + (y - 5)² = 25

B. (x + 1)² + (y + 1)² = 1 hoặc (x + 5)² + (y + 5)² = 25

C. (x - 5)² + (y - 5)² = 25

D. (x - 1)² + (y - 1)² = 1

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Do đường tròn tiếp xúc hai trục tọa độ và đi qua điểm M(2; 1) thuộc góc phần tư thứ (I) nên tọa độ tâm I( a; a) với a > 0 và bán kính đường tròn là R = a.

Vì đường tròn đi qua điểm M nên R= IM ⇔ R² = IM²

⇔ a² = ( a - 2)² + (a - 1)² ⇔ a² = a² - 4a + 4 + a² - 2a + 1

⇔ a² - 6a + 5 = 0

⇔

+ Với a = 1 thì tâm đường tròn là I( 1; 1) và bán kính R = a = 1

⇒ Phương trình đường tròn: (x - 1)² + (y - 1)² = 1

+ Với a = 5 thì tâm đường tròn là I(5; 5) và bán kính R = a = 5

⇒ Phương trình đường tròn: (x - 5)² + (y - 5)² = 25

Câu 14: Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy?

A. x² + y² - 10x + 2y + 1 = 0    B. x² + y² - 4y - 5 = 0

C. x² + y² - 1 = 0    D. x² + y² + x + y - 3 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Phương trình trục Oy là x = 0.

Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng đó bằng R.

– Tâm và bán kính của x² + y² - 10x + 2y + 1 = 0 là I₁( 5; -1) và R₁ = 5.

Khoảng cách d( I₁; Oy) = 5 = R₁

⇒ đường tròn này tiếp xúc Oy.

– Tâm và bán kính của x² + y² - 4y - 5 = 0 là I₂( 0; 2) và R₂ = 3

Khoảng cách d( I₂; Oy) = 0 < 3

⇒ đường tròn này không tiếp xúc Oy.

– Tâm và bán kính của x² + y² - 1 = 0 là I₃ (0; 0) và R₃ = 1

Khoảng cách d( I₃; Oy) = 0 ≠ R₃

⇒ đường tròn này không tiếp xúc Oy.

– Tâm và bán kính của x² + y² + x + y - 3 = 0 là I₄( - ; - ) , R₄ =

Khoảng cách d(I₄ = ≠ R₄, Oy) ⇒ đường tròn này không tiếp xúc Oy.

Câu 15: Với những giá trị nào của m thì đường thẳng ∆: 3x + 4y + 3 = 0 tiếp xúc với đường tròn ( C): (x - m)² + y² = 9

A. m = 0 và m = 1.    B. m = 4 và m = -6    C. m = 2    D. m = 6

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Ta có ( C) có tâm I( m; 0) và bán kính R = 3.

Để đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn ( C) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ bằng bán kính R:

d(I; Δ) = 3 ⇔ = 3 ⇔ |3m + 3| = 15

⇔

Vậy để đường thẳng tiếp xúc với đường tròn thì m = 4 hoặc m = -6.

Câu 16: Đường tròn x² + y² - 4x - 2y + 1 = 0 tiếp xúc đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây?

A. Trục tung.    B. 4x + 2y - 1 = 0.    C. Trục hoành.    D. 2x + y - 4 = 0.

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ Đường tròn có tâm I(2;1) và bán kính R = 2. Ta tính khoảng cách từ tâm I đến từng đường thẳng và so sánh R.

* Xét trục tung Oy : x = 0 có d(I; Oy) = 2 = R nên đường tròn tiếp xúc trục tung Oy.

* Xét đường thẳng ∆: 4x + 2y - 1 = 0 có d(I, Δ) = ≠ R nên đường tròn không tiếp xúc .

* Xét trục hoành Ox : y = 0 có d(I, Ox) = 1 ≠ R ⇒ đường tròn không tiếp xúc với trục hoành.

* Xét đường thẳng d: 2x + y - 4 = 0 có d(I, D) = ≠ R ⇒ đường tròn không tiếp xúc d.