Các dạng bài tập Đại cương về hàm số chọn lọc có lời giải - Toán lớp 10

---

Các dạng bài tập Đại cương về hàm số chọn lọc có lời giải

Với Các dạng bài tập Đại cương về hàm số chọn lọc có lời giải Toán lớp 10 tổng hợp các dạng bài tập, bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết với đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Đại cương về hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

• Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số Xem chi tiết
• Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số Xem chi tiết
• Dạng 3: Xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số Xem chi tiết
• Dạng 4: Bài tập về đồ thị hàm số Xem chi tiết
• Bài tập tổng hợp: Bài tập về hàm số Xem chi tiết

Cách tìm tập xác định của hàm số

1. Phương pháp giải.

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa

Chú ý: Nếu P(x) là một đa thức thì:

2. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau

Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ: x² + 3x - 4 ≠ 0

Suy ra tập xác định của hàm số là D = R\{1; -4}.

b) ĐKXĐ:

c) ĐKXĐ: x³ + x² - 5x - 2 = 0

Suy ra tập xác định của hàm số là

d) ĐKXĐ: (x² - 1)² - 2x² ≠ 0 ⇔ (x² - √2.x - 1)(x² + √2.x - 1) ≠ 0

Suy ra tập xác định của hàm số là:

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ:

Suy ra tập xác định của hàm số là D = (1/2; +∞)\{3}.

b) ĐKXĐ:

Suy ra tập xác định của hàm số là D = [-2; +∞)\{0;2}.

c) ĐKXĐ:

Suy ra tập xác định của hàm số là D = [-5/3; 5/3]\{-1}

d) ĐKXĐ: x² - 16 > 0 ⇔ |x| > 4

Suy ra tập xác định của hàm số là D = (-∞; -4) ∪ (4; +∞).

Ví dụ 3: Cho hàm số: với m là tham số

a) Tìm tập xác định của hàm số theo tham số m.

b) Tìm m để hàm số xác định trên (0; 1)

Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ:

Suy ra tập xác định của hàm số là D = [m-2; +∞)\{m-1}.

b) Hàm số xác định trên (0; 1) ⇔ (0;1) ⊂ [m - 2; m - 1) ∪ (m - 1; +∞)

Vậy m ∈ (-∞; 1] ∪ {2} là giá trị cần tìm.

Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số

1. Phương pháp giải.

* Sử dụng định nghĩa

Hàm số y = f(x) xác định trên D

    + Hàm số chẵn

    + Hàm số lẻ

Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ

        Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng

        Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

* Quy trình xét hàm số chẵn, lẻ.

B1: Tìm tập xác định của hàm số.

B2: Kiểm tra

    Nếu ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D Chuyển qua bước ba

    Nếu ∃ x₀ ∈ D ⇒ -x₀ ∉ D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.

B3: xác định f(-x) và so sánh với f(x).

    Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn

    Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ

    Nếu tồn tại một giá trị ∃ x₀ ∈ D mà f(-x₀ ) ≠ ± f(x₀) kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

Hướng dẫn:

a) f(x) = 3x³ + 2∛x

TXĐ: D = R.

Với mọi x ∈ D, ta có -x ∈ D

f(-x) = 3.(-x)³ + 2∛(-x) = -(3x³ + 2∛x) = -f(x)

Do đó f(x) = 3x³ + 2∛x là hàm số lẻ

b)

TXĐ: D = R.

Với mọi x ∈ D, ta có -x ∈ D

Do đó là hàm số chẵn

c)

ĐKXĐ:

Suy ra TXĐ: D = [-5;5]

Với mọi x ∈ [-5;5] ta có -x ∈ [-5;5]

Do đólà hàm số chẵn

d)

ĐKXĐ:

Suy ra TXĐ: D = [-2; 2)

Ta có x₀ = -2 ∈ D nhưng -x₀ = 2 ∉ D

Vậy hàm sốkhông chẵn và không lẻ.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số sau là hàm số chẵn.

Hướng dẫn:

Giả sử hàm số chẵn suy ra f(-x) = f(x) với mọi x thỏa mãn điều kiện (*)

với mọi x thỏa mãn (*)

⇒ 2(2m² - 2) x = 0 với mọi x thỏa mãn (*)

⇔ 2m² - 2 = 0 ⇔ m = ± 1

+ Với m = 1 ta có hàm số là

ĐKXĐ : √(x²+1) ≠ 1 ⇔ x ≠ 0

Suy ra TXĐ: D = R\{0}

Dễ thấy với mọi x ∈ R\{0} thì -x ∈ R\{0} và f(-x) = f(x)

Do đólà hàm số chẵn.

+ Với m = -1 ta có hàm số là

TXĐ: D = R

Dễ thấy với mọi x ∈ R thì -x ∈ R và f(-x) = f(x)

Do đólà hàm số chẵn.

Vậy m = ± 1 là giá trị cần tìm.

Cách xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số

1. Phương pháp giải.

C1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x₁; x₂ ∈ K;x₁ < x₂, đặt T = f(x₁ )-f(x₂ )

    + Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.

    + Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.

C2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x₁; x₂ ∈ K;x₁ ≠ x₂, đặt

    + Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.

    + Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng (1; + ∞)

a) y = 3/(x-1)

b) y = x + 1/x

Hướng dẫn:

a) Với mọi x₁; x₂ ∈ (1; + ∞); x₁ ≠ x₂ ta có:

Vì x₁ > 1; x₂ > 1 nên

Do đó hàm số y = 3/(x-1) nghịch biến trên khoảng (1; + ∞).

b) Với mọi x₁; x₂ ∈ (1; + ∞); x₁ ≠ x₂ ta có:

Vì x₁ > 1; x₂ > 1

nên hàm số y = x + 1/x đồng biến trên khoảng (1; + ∞).

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = x² - 4

a) Xét chiều biến thiên cuả hàm số trên (- ∞;0) và trên (0;+ ∞)

b) Lập bảng biến thiên của hàm số trên [-1;3] từ đó xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên[-1;3].

Hướng dẫn:

TXĐ: D = R.

a) ∀ x₁; x₂ ∈ R; x₁ < x₂ ⇒ x₂ - x₁ > 0

Ta có T = f(x₂ ) - f(x₁ )=(x₂² - 4) - (x₁² - 4) = (x₂ - x₁ )(x₂ + x₁ )

Nếu x₁; x₂ ∈ (- ∞;0) thì T < 0. Vậy hàm số y=f(x) nghịch biến trên (- ∞;0).

Nếu x₁; x₂ ∈ (0; + ∞) thì T > 0. Vậy hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; + ∞).

b) Bảng biến thiên của hàm số y = f(x) = x² - 4 trên [-1; 3]

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Giá trị lớn nhất của hàm số trên [-1; 3] là 5, đạt được khi x = 3.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1; 3] là – 4, đạt được khi x = 0.

Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm sốtrên tập xác định của nó.

Áp dụng tìm số nghiệm của các phương trình sau:

Hướng dẫn:

ĐKXĐ:

Suy ra TXĐ: D = [1; + ∞)

Với mọi x₁; x₂ ∈ [1; + ∞), x₁ ≠ x₂, ta có:

Nên hàm sốđồng biến trên khoảng [1; + ∞).

a) Vì hàm số đã cho đồng biến trên [1; + ∞) nên

Nếu x > 1 ⇒ f(x) > f(1) hay

Suy ra phương trìnhkhông có nghiệm x > 1.

Với x = 1 dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

b)

ĐKXĐ: x ≥ 1

Đặt x² + 1 = t, t ≥ 1 ⇒ x² = t - 1

Do x ≥ 1 nên x = √(t-1). Khi đó phương trình trở thành:

⇔ f(x)=f(t)

Nếu x > t ⇒ f(x) > f(t) hay

Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x > t.

Nếu x < t ⇒ f(x)< f(t) hay

Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x < t.

Vậy f(x) = f(t) ⇔ x = t hay x² + 1 = x ⇔ x² - x + 1 = 0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Nhận xét:

Hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên toàn bộ tập xác định thì phương trình f(x)=0 có tối đa một nghiệm.

Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên D thì f(x) > f(y) ⇔ x > y (x < y) và f(x) = f(y) ⇔ x = y ∀ x,y ∈ D. Tính chất này được sử dụng nhiều trong các bài toán đại số như giải phương trình , bất phương trình , hệ phương trình và các bài toán cực trị.