Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai cực hay - Toán lớp 10

---

Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai cực hay

Với Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai cực hay Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập giải và biện luận phương trình bậc hai từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

Lý thuyết & Phương pháp giải

Giải và biện luận phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0

Bước 1. Biến đổi phương trình về đúng dạng ax² + bx + c = 0

Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:

   - Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận ax + b = 0.

   - Trường hợp 2: a ≠ 0. Ta lập Δ = b² - 4ac. Khi đó:

      + Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

      + Nếu Δ = 0 thì phương trình có 1 nghiệm (kép): x = -b/2a

      + Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Bước 3. Kết luận.

Lưu ý:

- Phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm

- Phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất

Ví dụ minh họa

Bài 1: Phương trình (m–1)x² + 3x – 1 = 0. Phương trình có nghiệm khi:

Hướng dẫn:

Với m = 1, phương trình trở thành 3x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3

Do đó m = 1 thỏa mãn.

Với m ≠ 1, ta có Δ = 9 + 4(m-1) = 4m + 5

Phương trình có nghiệm khi Δ ≥ 0

Hợp hai trường hợp ta được m ≥ -5/4 là giá trị cần tìm

Bài 2: Phương trình (x² - 3x + m)(x - 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi:

Hướng dẫn:

Phương trình (x² - 3x + m)(x - 1) = 0 ⇔

Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Bài 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 10] để phương trình mx² - mx + 1 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn:

Nếu m = 0 thì phương trình trở thành 1 = 0: vô nghiệm.

Khi m ≠ 0, phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

Δ = m² - 4m ≥ 0

Kết hợp điều kiện m ≠ 0, ta được

Vì ∈ Z, m ∈ [-10;10] m ∈ {-10; -9; -8;...; -1} ∪ {4; 5; 6;...; 10}

Vậy có tất cả 17 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số y = -x² - 2x + 3 và y = x² - m có điểm chung

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm -x² - 2x + 3 = x² - m

⇔ 2x² + 2x - m - 3 = 0.    (*)

Để hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

⇔ Δ' = 1 - 2(-m-3) ≥ 0 ⇔ m ≥ -7/2

Bài 5: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = 2x + m tiếp xúc với parabol (P): y = (m–1)x² + 2mx + 3m – 1

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm (m-1)x² + 2mx + 3m - 1 = 2x + m

⇔ (m-1)x² + 2(m-1)x + 2m - 1 = 0  (*)

Để d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép