Các dạng bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai cực hay - Toán lớp 10

---

Các dạng bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai cực hay

Với Các dạng bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai cực hay Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập nghiệm của phương trình bậc hai từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

Lý thuyết & Phương pháp giải

a. Định lí Vi-ét.

Hai số x₁ và x₂ là các nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức x₁ + x₂ = -b/a và x₁.x₂ = c/a

b. Ứng dụng.

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.

- Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f(x) = ax² + bx + c có hai nghiệm x₁ và x₂ thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)

- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình x² - Sx + P = 0.

- Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:

- Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (*), kí hiệu S = -b/a, P = c/a. khi đó

   + Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

   + Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

   + Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho phương trình x² - 3x - 5 = 0. Khi đó tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Phương trình x² - 3x - 5 = 0 (*), có Δ = (-3)² - 4.(-5) = 29 > 0 → (*) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo hệ thức Viet, ta có

Bài 2: Giả sử phương trình x² - (2m+1)x + m² + 2 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x₁, x₂. Tính giá trị biểu thức P = 3x₁x₂ - 5(x₁ + x₂) theo m

Hướng dẫn:

Theo định lý Viet, ta có

Thay vào P, ta được P = 3(m² + 2) - 5(2m + 1) = 3m² - 10m + 1

Bài 3: Giả sử phương trình 2x² - 4ax - 1 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Tính giá trị của biểu thức T = |x₁ - x₂|

Hướng dẫn:

Vì x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình 2x² - 4ax - 1 = 0

Theo hệ thức Viet, ta có x₁ + x₂ = -(-4a/2) = 2a và x₁.x₂ = -1/2     (1)

Ta có T = |x₁ - x₂| ⇔ T² = (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂    (2)

Từ (1) và (2) suy ra T² = (2a)² -4.(-1/2) = 4a² + 2 ⇒ T = √(4a² + 2) > 0

Bài 4: Cho hai phương trình x² - mx + 2 = 0 và x² + 2x - m = 0. Có bao nhiêu giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3?

Hướng dẫn:

Gọi x₀ là một nghiệm của phương trình x² - mx + 2 = 0

Suy ra 3-x₀ là một nghiệm của phương trình x² + 2x - m = 0

Khi đó, ta có hệ

Thay (2) vào (1), ta được x₀² - (x₀² - 8x₀ + 15)x₀ + 2 = 0

cho ta 3 giá trị của m cần tìm

Bài 5: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - 2(m+1)x + m² + 2 = 0 (m là tham số). Tìm m để biểu thức P = x₁x₂ - 2(x₁ + x₂) - 6 đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn:

Ta có Δ' = (m+1)² - (m² + 2) = 2m - 1

Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ m ≥ 1/2.    (*)

Theo định lý Viet, ta có

Khi đó 1

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = 2

Bài 6: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - (2m+1)x + m² + 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức có giá trị nguyên

Hướng dẫn:

Ta có Δ = (2m + 1)² - 4(m² + 1) = 4m - 3

Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ m ≥ 3/4

Theo định lý Viet, ta có

Khi đó

Do m ≥ 3/4 nên 2m + 1 ≥ 5/2

Để P ∈ Z thì ta phải có (2m + 1) là ước của 5 , suy ra 2m + 1 = 5 ⇔ m = 2

Thử lại với m = 2, ta được P = 1 (thỏa mãn)