Một số bài toán liên quan đến diện tích (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Một số bài toán liên quan đến diện tích lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Một số bài toán liên quan đến diện tích.

Một số bài toán liên quan đến diện tích (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Bài toán: Cho tam giác ABC biết tọa độ 3 đỉnh A, B, C. Tính diện tích tam giác ABC.

Để giải được bài toán trên, ta thực hiện theo hai cách sau:

Cách 1. Tính diện tích tam giác ABC dựa vào góc:

Bước 1. Tính tọa độ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ và độ dài AB, AC.

Bước 2. Tính cosA bằng cách tính cosin góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$

Bước 3. Tính sinA.

$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}.$

Bước 4. Tính diện tích tam giác ABC:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A.$

Chú ý: Nếu $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$ thì tam giác ABC vuông tại A, khi đó $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC.$

Cách 2. Tính diện tích tam giác ABC dựa vào khoảng cách:

Bước 1. Tính tọa độ $\overrightarrow{AB}$, suy ra ${\overrightarrow{n}}_{AB}.$

Bước 2. Viết phương trình đường thẳng AB đi qua A (hoặc B) và nhận ${\overrightarrow{n}}_{AB}$ làm vectơ pháp tuyến.

Bước 3. Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.

Bước 4. Tính diện tích tam giác ABC:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}d\left(C,AB\right)\cdot AB.$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(2; 3) và C(–3; –4). Tính diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Với A(1; 2), B(2; 3) và C(–3; –4) ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;1\right)$ và $\overrightarrow{AC}=\left(-4;-6\right).$

Khi đó $AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2};AC=\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-6\right)}^2}=2\sqrt{13}.$

Ta có $\cos A=\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\left|1\cdot \left(-4\right)+1\cdot \left(-6\right)\right|}{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{13}}=\frac{10}{2\sqrt{26}}.$

Suy ra $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{10}{2\sqrt{26}}\right)}^2}=\frac{1}{\sqrt{26}}.$

Vậy diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{13}\cdot \frac{1}{\sqrt{26}}=1$ (đvdt).

Cách 2. Với A(1; 2), B(2; 3) ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;1\right).$

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_{AB}=\left(1;-1\right)$ và $AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.$

Đường thẳng AB đi qua A(1; 2) và nhận ${\overrightarrow{n}}_{AB}\left(1;-1\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

1(x – 1) – 1(y – 2) = 0 tức là x – y + 1 = 0.

Khoảng cách từ điểm C(–3; –4) đến đường thẳng AB là:

$d\left(C,AB\right)=\frac{\left|-3-\left(-4\right)+1\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\sqrt{2}$

Vậy diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.d\left(C,AB\right)=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=1$(đvdt).

Ví dụ 2. Cho đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 0) và B(0; 4). Tìm tọa độ điểm M nằm trên Oy sao cho diện tích tam giác MAB bằng 6.

Hướng dẫn giải:

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 0) và B(0; 4) là:

$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\iff 4x+3y-12=0.$

Gọi M(0; m) thuộc vào Oy.

Khi đó d(M, AB) = $\frac{\left|3m-12\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{\left|3m-12\right|}{5}$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-3;4\right)$ nên $AB=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2}=5.$

Diện tích tam giác MAB bằng 6 nên: $\frac{1}{2}d\left(M,AB\right)\cdot AB=6$

Do đó $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot \frac{\left|3m-12\right|}{5}=6\iff \left|3m-12\right|=12\iff \left[\begin{array}{l}3m=0\\ 3m=24\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=0\\ m=8\end{array}\right.$.

Khi đó tọa độ của điểm M là M(0; 0) hoặc M(0; 8).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng Δ: 5x + 3y – 15 = 0 tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng bao nhiêu?

A. 7,5;

B. 5;

C. 15;

D. 3.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(2; –1), B(1; 2) và C(2; –4). Diện tích tam giác ABC là

A. 4;

B. 2;

C. 3;

D. 1,5.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3; –4), B(1; 5), C(3; 1). Diện tích tam giác ABC là

A. $\sqrt{26}$;

B. $2\sqrt{5}$;

C. 10;

D. 5.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: mx – y – 4 = 0; d₂: –mx – y – 4 = 0. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để tam giác tạo thành bởi d₁, d₂ và trục hoành có diện tích lớn hơn 8. Số phần tử của tập hợp S là

A. 1;

B. 3;

C. 2;

D. 4.

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d đi qua điểm I(1; 3) và tạo với hai tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 6. Phương trình đường thẳng d nào sau đây không thỏa mãn điều kiện trên?

A. $\left(9+6\sqrt{2}\right)x-y-6\sqrt{2}-6=0$;

B. $\left(9-6\sqrt{2}\right)x-y+6\sqrt{2}-6=0$;

C. 3x – y + 6 = 0;

D. 3x + y – 6 = 0.

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; –3), B(0; 2), C(–2; 4). Đường thẳng Δ đi qua A và chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. Phương trình của đường thẳng Δ là

A. 2x – y – 7 = 0;

B. x + y + 2 = 0;

C. x – 3y – 10 = 0;

D. 3x + y = 0.

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 1). Đường thẳng d đi qua M, cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B (A, B khác O) sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng d là

A. 2x – y – 3 = 0;

B. x – 2y = 0;

C. x + 2y – 4 = 0;

D. x – y – 1 = 0.

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\left(a,b\in \mathbb{Z};a,b\ne 0\right)$ đi qua M(–1; 6) và tạo với tia Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 4. Giá trị S = a + 2b có thể bằng

A. S = 6;

B. S = 8;

C. S = 10;

D. S = 12.

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua A(2; 1) có hệ số góc k nguyên dương. Phương trình đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 0,5 là

A. x + y – 3 = 0;

B. x – y – 1 = 0;

C. 4x – y – 7 = 0;

D. x – 4y + 2 = 0.

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; –2), đường cao CH: x – y + 1 = 0, phân giác trong BN: 2x + y + 5 = 0. Diện tích tam giác ABC bằng

A. $\frac{45}{4}$;

B. $\frac{45}{2}$;

C. $\frac{41}{2}$;

D. $\frac{41}{4}$.