Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (bài tập + lời giải)


Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng:

1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 và ∆2.

Để giải được bài toán trên, ta có 2 cách sau:

Cách 1. Quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình.

Bước 1. Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm hệ phương trình:

a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0.*

Bước 2. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 và ∆2.

⦁ Hệ (*) có nghiệm duy nhất (x0; y0) thì ∆1 cắt ∆2 tại điểm M(x0; y0).

⦁ Hệ (*) vô nghiệm thì ∆1 song song với ∆2.

⦁ Hệ (*) vô số nghiệm thì ∆1 trùng ∆2.

Cách 2. Sử dụng vectơ pháp tuyến/ vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.

Bước 1. Xác định vectơ pháp tuyến (VTPT) của mỗi đường thẳng:

− Đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 → VTPT là n1=a1;b1.

− Đường thẳng d2: a2x + b2y + c2 = 0 → VTPT là n2=a2;b2.

Bước 2. Tính giá trị a1b2 – a2b1, sau đó xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:

− Nếu a1b2 – a2b1 = 0 thì n1,n2 cùng phương.

Khi đó d, d2 song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm M tùy ý trên d1.

      ⦁ Nếu M ∈ d2, d1 ≡ d2;

      ⦁ Nếu M ∉ d2 thì d1 // d2.

− Nếu a1b2 – a2b1 ≠ 0 thì n1,n2 không cùng phương.

Khi đó d1 cắt d2 tại một điểm có tọa độ (x0; y0) với (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình: a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0.

Chú ý:

− Đặc biệt d1d2n1n2n1n2=0a1a2+b1b2=0.

− Với trường hợp a2.b2.c2 ≠ 0, khi đó

+ Nếu a1a2b1b2 thì hai đường thẳng cắt nhau.

+ Nếu a1a2=b1b2c1c2 thì hai đường thẳng song song nhau.

+ Nếu a1a2=b1b2=c1c2 thì hai đường thẳng trùng nhau.

− Khi phương trình hai đường thẳng cho dưới dạng phương trình tham số/ phương trình đoạn chắn thì ta cũng xét hai vectơ chỉ phương tương ứng.

− Ta chỉ xét đồng thời hai vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ chỉ phương tướng ứng của hai đường thẳng đối với Cách 2.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 2x – y + 1 = 0 và d2: 2x – y + 5 = 0. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2.

Hướng dẫn giải:

Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm hệ phương trình:

 2xy+1=02xy+5=02xy=12xy=5.

Dễ thấy hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy đường thẳng d1 song song với d2.

Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: 2x + y + 15 = 0 và d2: x – 2y – 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến n1=2;1.

Đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến n2=1;2.

Ta có n1.n2=2.1+1.2=0.

Vậy d1 và d2 vuông góc với nhau.

Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng lần lượt có phương trình d1: x2y3=2 và d2: 6x – 2y – 8 = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có x2y3=23x2y12=0.

Do 3622 nên hai đường thẳng cắt nhau.

Lại có 3.6 + (–2).(–2) = 22 ≠ 0 nên hai đường thẳng không vuông góc với nhau.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y – 3 = 0 và d2: 2x + y – 3 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d1 // d2;

B. d1 trùng d2;

C. d1, d2 cắt nhau và không vuông góc;

D. d1 ⊥ d2.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1:x=3+4ty=26td2:x=22t'y=8+4t'. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d1 // d2;

B. d1 trùng d2;

C. d1, d2 cắt nhau và không vuông góc;

D. d1 ⊥ d2.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d: x – 2y – 1 = 0 song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. x + 2y + 1 = 0;

B. 2x – y = 0;

C. – x + 2y + 1 = 0;

D. – 2x + 4y – 1 = 0.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1: 7x – 3y + 16 = 0 và d2: x + 10 = 0 là

A. A(–10; –18);

B. B(10; 18);

C. C(–10; 18);

D. D(10; –18).

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1: x=3+4ty=2+5t và d2: x=1+4t'y=75t'

A. (1; 7);

B. (–3; 2);

C. (2; –3);

D. (5; 1);

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1: (m – 3)x + 2y + m2 – 1 = 0 và d2: –x + my + m2 – 2m + 1 = 0 cắt nhau?

A. m ≠ 1;

B. m ≠ 1 và m ≠ 2;

C. m ≠ 2;

D. m ≠ 1 hoặc m ≠ 2.

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d1: x=8m+1ty=10+t và d2: mx + 2y – 14  = 0 song song?

A. m = 1 hoặc m = –2;

B. m = 1;

C. m = – 2;

D. Không có giá trị nào của m.

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với giá trị nào của m thì hai đường thẳng Δ1:x=m+2ty=1+m2+1tΔ2:x=1+mty=m+t trùng nhau?

A. Không có giá trị nào của m;

B. m=43;

C. m = 1;

D. m = – 3.

Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình d1: 3x – 4y + 15 = 0, d2: 5x + 2y – 1 = 0 và d3: mx – (2m – 1)y + 9m – 13 = 0. Tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm là

A. m=15;

B. m=5;

C. m=15;

D. m = 5.

Bài 10. Giá trị a để hai đường thẳng d1: ax + 3y – 4 = 0 và d2:x=1+ty=3+3t cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành là

A. a = 1;

B. a = –1;

C. a = 2;

D. a = –2.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác: