Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán lớp 10

---

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Với Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

A. Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau. Khoảng cách hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng này đến đường thẳng kia.

d( d; d’) = d( A; d’) trong đó A là một điểm thuộc đường thẳng d.

⇒ Để tính khoảng cách hai đường thẳng song song ta cần:

+ Đưa phương trình hai đường thẳng về dạng tổng quát.

+ Lấy một điểm A bất kì thuộc đường thẳng d.

+ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d’ .

+ Kết luận: d( d; d’) = d( A; d’) .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆: 6x - 8y - 101 = 0 và d: 3x - 4y = 0 là:

A. 10, 1    B. 1,01    C. 12    D. √101 .

Hướng dẫn giải

+ Ta có:

⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau: d // ∆.

+ Lấy điểm O( 0;0) thuộc đường thẳng d.

+ Do hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau nên

d(∆; d) = d ( O; ∆) = = 10,1

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d: 7x + y - 3 = 0 và ∆: .

A.    B. 15    C. 9    D.

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng ∆ về dạng tổng quát:

∆:

⇒ Phương trình ∆: 7( x + 2) + 1( y - 2) = 0 hay 7x + y + 12 = 0

Ta có: nên d // ∆

⇒ d(d;Δ) = d(A;d) =

Chọn A.

Ví dụ 3. Tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: 3x - 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0.    B. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0.

C. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0.    D. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0.

Lời giải

Gọi điểm M (x ; y) là điểm cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 2. Suy ra :

d(M(x; y); Δ) = 2 ⇔ = 2

|3x - 4y + 2| = 10 ⇒

Vậy tập hợp các điểm cách ∆ một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng :

3x - 4y + 12 = 0 và 3x - 4y - 8 = 0

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: 5x + 3y - 3 = 0 và d₂: 5x + 3y + 7 = 0 song song nhau. Đường thẳng d vừa song song và cách đều với d₁; d₂ là:

A. 5x + 3y - 2 = 0    B. 5x + 3y + 4 = 0    C. 5x + 3y + 2 = 0    D. 5x + 3y - 4 = 0

Lời giải

Lấy điểm M ( x; y) thuộc đường thẳng d. Suy ra:

d(M(x; y); d₁)=d(M(x; y); d₂) ⇔

⇔

Đường thẳng d: 5x + 3y + 2 song song với hai đường thẳng d₁ và d₂.

Vậy đường thẳng d thỏa mãn là: 5x + 3y + 2 = 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: và đường thẳng ∆: . Tính khoảng cách hai đường thẳng này.

A. 1    B. 0.    C. 2    D. 3

Lời giải

+ Đường thẳng d:

⇒ Phương trình d: 3(x - 2) – 2(y + 1) = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0

+ Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 3(x - 0) – 2(y + 4) = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0

⇒ hai đường thẳng này trùng nhau nên khoảng cách hai đường thẳng này là 0.

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng d: x + y - 2 = 0 và đường thẳng ∆: . Viết phương trình đường thẳng d’// d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √2.

A. x + y - 1 = 0    B. x + y + 1= 0    C. x + y - 3 = 0    D. Cả B và C đúng.

Lời giải

+ Do đường thẳng d’// d nên đường thẳng d có dạng (d’) : x + y + c = 0( c ≠ -2)

+ Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 1(x + 2) + 1(y - 3) = 0 hay x + y - 1 = 0.

+ Lấy điểm M ( 1; 0) thuộc ∆.

Để khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ bằng 2 khi và chỉ khi:

d( d’; ∆) = d( M; d’) = 2

⇔ = √2 ⇔ |1 + c| = 2

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y + 1 = 0 và x + y - 3 = 0

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có B( 1; -2) và C( 0; 1). Điểm A thuộc đường thẳng
d: 3x+ y= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1    B. 3    C. 0,5    D. 2

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ Phương trình BC: 3(x - 1) + 1(y + 2) = 0 hay 3x + y - 1 = 0 .

+ ta có; BC = = √10

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

Ta có: ⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d( A; BC) = d( d; BC) . (1)

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm O(0; 0) thuộc d.

⇒ d(d; BC) = d(O;BC) = = ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra d( A; BC) = .

+ Diện tích tam giác ABC là S = d( A,BC).BC = . .√10 = 0, 5

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hai đường thẳng d: x + y - 4 = 0 và đường thẳng ∆: . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này?

A. 1    B. 2    C. √2    D. Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

+Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình đường thẳng ∆: 1( x - 1) + 1( y - 1) = 0 hay x + y - 2 = 0.

+ Ta có: nên hai đường thẳng d//∆.

+ Lấy điểm A( 1; 1) thuộc ∆. Do d // ∆ nên :

d(d; ∆) = d(A; d) = = √2

Câu 2: Cho đường thẳng d: x - 2y + 2 = 0 . Phương trình các đường thẳng song song với d và cách d một đoạn bằng √5 là

A. x - 2y - 3 = 0; x - 2y + 7 = 0    B. x - 2y + 3 = 0 và x - 2y + 7 = 0

C. x - 2y - 3 = 0; x - 2y - 7 = 0    D. x - 2y + 3 = 0; x - 2y - 7 = 0 .

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ Gọi ∆ là đường thẳng song song với d: x - 2y + 2 = 0

⇒ Đường thẳng ∆ có dạng: x - 2y + c = 0 ( c ≠ 2 ) .

+ Lấy một điểm A( -2 ; 0) thuộc d.

⇒ d( d ; ∆) = d( A ; ∆) = √5

⇔ = √5 ⇔ |c - 2| = 5 nên

+ Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là x - 2y + 7 = 0 hoặc x - 2y - 3 = 0.

Câu 3: Cho đường thẳng d: 3x + 4y + 1 = 0. Có 2 đường thẳng d₁ và d₂ cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y - 7 = 0; 3x - 4y + 3 = 0.    B. 3x - 4y + 7 = 0; 3x - 4y - 3 = 0

C. 3x + 4y + 4 = 0; 3x + 4y + 3 = 0.    D. 3x + 4y - 4 = 0; 3x + 4y + 6 = 0 .

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

+ Do đường thẳng song song với d nên ∆ có dạng là : ∆ : 3x + 4y + c = 0 ( c ≠ 1) .

Lấy điểm M(-3 ; 2) thuộc d

Do d(d ; ∆) = d( M ; ∆) =1 ⇔ = 1

⇔ |c - 1| = 5 ⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x + 4y + 6 = 0 hoặc 3x + 4y - 4 = 0

Câu 4: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng (a): 7x + y - 3 = 0 và (b): 7x + y + 12 = 0 là

A.    B. 9.    C.    D. 15.

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có : nên a // b

Lây điểm M (0 ; 3) thuộc( a) .

Do a // b nên d(M ; b) = d( a ; b) =

Câu 5: Cho đường thẳng d: 3x - 4y + 2 = 0. Có đường thẳng a và b cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y - 1 = 0 ; 3x + 4y + 5 = 0    B. 3x - 4y + 7 = 0 ; 3x - 4y - 3 = 0

C. 3x + 4y - 3 = 0 ; 3x + 4y + 7 = 0    D. 3x - 4y + 6 = 0; 3x - 4y - 4 = 0

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Giả sử đường thẳng ∆ song song với d : 3x - 4y + 2 = 0

Khi đó ; ∆ có phương trình là ∆ : 3x - 4y + C = 0.

Lấy điểm M( -2 ; -1) thuộc d.

Do d(d; ∆) = 1 ⇔ = 1 ⇔ |C - 2| = 5 ⇔

Do đó hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x - 4y + 7 = 0 và 3x - 4y - 3 = 0.

Câu 6: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: 4x - 6y + 20 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ // d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √13

A. 2x - 3y + 23 = 0    B. 2x - 3y - 3 = 0.

C. 2x - 3y – 8 = 0 và 2x - 3y = 0    D. Cả A và B đúng

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

+ Ta có đường thẳng d’// d nên đường thẳng d’ có dạng : 2x - 3y + c = 0 ( c ≠ 6)

+ Xét vị trí của hai đường thẳng d và ∆:

⇒ Hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau .

Mà d // d’ nên d’ // ∆.

+ Lấy điểm A( -5; 0) thuộc ∆.

+ Do d’ // ∆ nên d( d’; ∆) = d( A; d’) = √13

⇔ = √13 ⇔

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là 2x - 3y + 23 = 0 và 2x - 3y - 3 = 0.

Câu 7: Cho tam giác ABC có B( - 2; 1) và C( 2; 0). Điểm A thuộc đường thẳng
d: x+ 4y- 10= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1    B. 3    C. 0,5    D. 2

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ Phương trình BC: 1( x + 2) + 4( y - 1) = 0 hay x + 4y - 2 = 0 .

+ ta có; BC = = √17

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

Ta có: ⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d( A; BC) = d( d; BC) . (1)

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm H( 10; 0) thuộc d.

⇒ d(d; BC) = d(H;BC) = = ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra d( A; BC) =

+ Diện tích tam giác ABC là S = d( A,BC).BC = . .√17= 1