Tính giá trị và rút gọn biểu thức lượng giác (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo sưu tầm bài viết phương pháp giải bài tập Tính giá trị và rút gọn biểu thức lượng giác lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính giá trị và rút gọn biểu thức lượng giác.

Tính giá trị và rút gọn biểu thức lượng giác (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Để tính giá trị và rút gọn các biểu thức lượng giác, ta sử dụng định nghĩa, các tính chất, các hệ thức lượng giác và bảng giá trị của một số góc đặc biệt để tính và biến đổi các biểu thức đã cho.

• Một số kiến thức cần lưu ý:

+ Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

- Của 2 góc phụ nhau:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:

sin(90° – α) = cosα;

cos(90° – α) = sinα;

tan(90° – α) = cotα (α ≠ 90°);

cot(90° – α) = tanα (0° < α < 180°).

- Của 2 góc bù nhau:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:

sin(180° – α) = sinα;

cos(180° – α) = – cosα;

tan(180° – α) = – tanα (α ≠ 90°);

cot(180° – α) = – cotα (0° < α < 180°).

+ Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.

+ Một số hệ thức lượng giác cơ bản.

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta đều có:

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\left(\alpha \ne 90°\right);\cot \alpha =\frac{cos\alpha }{\sin \alpha }\left(0°<\alpha <180°\right);$

${\sin }^2\alpha +co{s}^2\alpha =1;$

$\tan \alpha .\cot \alpha =1\left(0°<\alpha <180°,\alpha \ne 90°\right)$

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\left(\alpha \ne 90°\right)\text{;}$

$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(0°<\alpha <180°\right).$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Tính $A=\sin 60°+\cos 150°-\cot 45°$.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:

$A=4\sin 60°+3\cos 150°-\cot 45°=4.\frac{\sqrt{3}}{2}+3.\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-1=\frac{\sqrt{3}-2}{2}$

Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức

$B=\cos 0°+\cos 20°+\cos 40°+\mathrm{...}+\cos 160°+\cos 180°$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$B=\cos 0°+\cos 20°+\cos 40°+\mathrm{...}+\cos 160°+\cos 180°$

$=\left(\cos 0°+\cos 180°\right)+\left(\cos 20°+\cos 160°\right)+\mathrm{...}+\left(\cos 80°+\cos 100°\right)$

$=\left(\cos 0°+\cos \left(180°-0°\right)\right)+\left(\cos 20°+\cos \left(180°-20°\right)\right)+\mathrm{...}+\left(\cos 80°+\cos \left(180°-80°\right)\right)$

$=\left(\cos 0°-\cos 0°\right)+\left(\cos 20°-\cos 20°\right)+\mathrm{...}+\left(\cos 80°-\cos 80°\right)$

= 0

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính giá trị biểu thức sau: $A=a\sin 90°+b\cos 90°+c\cos 180°$.

A. a – b;

B. a + b – c;

C. a – b + c;

D. a − c.

Bài 2. Kết quả của phép tính $B=5-{\sin }^{2}90°+2{\cos }^{2}60°-3{\tan }^{2}45°$ là:

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Bài 3. Rút gọn biểu thức $C=\sin 45°+3\cos 60°-4\tan 30°+5\cot 120°+6\sin 135°$ ta được kết quả là

A. $\frac{3}{2}+\frac{7\sqrt{2}}{2}-3\sqrt{3}$;

B. $\frac{3}{2}-\frac{7\sqrt{2}}{2}-3\sqrt{3}$;

C. $\frac{3}{2}+\frac{7\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{3}$;

D. $\frac{3}{2}-\frac{7\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}$.

Bài 4. Biết sin α + cos α = $\sqrt{2}$. Giá trị của biểu thức P = sin α . cos α bằng:

A. $\frac{1}{2}$;

B. 1;

C. $\frac{3}{2}$;

D. 2.

Bài 5. Kết quả của phép tính E = tan5° . tan10° . tan15° ... tan 75° . tan80° . tan85° là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 4.

Bài 6. Giá trị của biểu thức P = cot1° . cot2° . cot3° ... cot89° là

A. một số nguyên âm;

B. một số nguyên tố;

C. một số nguyên dương;

D. một số vô tỉ.

Bài 7. Biết sin α + cos α = $\sqrt{2}$.  Giá trị của biểu thức Q = sin⁴α – cos⁴α là:

A. 1;

B. – 1;

C. 0;

D. 2.

Bài 8. Giá trị biểu thức $D={\sin }^{2}1°+{\sin }^{2}37°+{\sin }^{2}53°+{\sin }^{2}89°$ là

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 4.

Bài 9. Biết tan α + cot α = 3. Giá trị của biểu thức tan² α + cot² α bằng:

A. 6;

B. 7;

C. 8;

D. 9.

Bài 10. Tính giá trị của biểu thức sau:

$P=4\tan \left(x+4°\right).\sin x.\cot \left(4x+26°\right)+\frac{8{\tan }^2\left(3°-x\right)}{1+{\tan }^2\left(5x+3°\right)}+8{\cos }^2\left(x-3°\right)$ khi x = 30°.

A. 2;

B. 3;

C. 6;

D. 12.