Bài toán về tính chất của cấp số cộng lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Chuyên đề phương pháp giải Bài toán về tính chất của cấp số cộng lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm Bài toán về tính chất của cấp số cộng.

Bài toán về tính chất của cấp số cộng lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

Tính chất của cấp số cộng:

Cho (u_n) là cấp số cộng thì ta có $u_k=\frac{u_{k+1}+u_{k-1}}{2}$ với k ³ 2; k $\in$ℕ.

Nếu ba số a; b; c lập thành cấp số cộng thì c − b = b − a.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho a,b và c là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Chứng minh ba số a² – bc, b² – ac, c² – ab; là cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh ba số: a² − bc; b² − ac; c² − ab cũng là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng.

Vì a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên : a + c = 2b.

Ta chứng minh:

a² – bc + c² – ab = 2(b² – ac)

⇔ a² + c² – b(a + c) = 2b² – 2ac

⇔ a² + c² – b.2b = 2b² – 2ac (vì a + c = 2b)

⇔ a² + c² + 2ac = 2b² + 2b²

⇔ (a + c)² = 4b² ⇔ 4b² = 4b² (đúng) $\Rightarrow$ Điều phải chứng minh .

Ví dụ 2. Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Chứng minh: 2(a + b + c)² = 9[a²(b + c) + b²(a + c) + c²(a + b)].

Hướng dẫn giải:

Do a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có: 2b = a + c.

$\Rightarrow$ 3b = a + b + c

Ta có:

9[a² (b + c) + b² ( a + c) + c² (a + b)]

= 9[a²(3b – a) + 2b³ + (2b – a)² (a + b)]

= 9[3a²b – a³ + 2b³ + (4b² – 4ab + a²)(a + b)]

= 9(3a²b – a³ +2b3 + 4ab² +4b³ – 4a²b – 4ab² + a³ + a²b)

= 9[a²(b + c) + b²(a + c) + c²(a + b)] = 54b³  (1)

Lại có: 2(a + b + c)³ = 2(3b)³ = 54b³   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2(a + b + c)² = 9[a²(b + c) + b²(a + c) + c²(a + b)].

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. a² + c² = 2ab + 2bc;

B. a² – c² = 2ab – 2bc;

C. a² + c² = 2ab – 2bc;

D. a² – c² = ab – bc;

Bài 2. Cho 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. a² + c² = 2ab + 2bc + 2ac;

B. a² – c² = 2ab + 2bc – 2ac;

C. a² + c² = 2ab + 2bc – 2ac;

D. a² – c² = 2ab – 2bc + 2ac.

Bài 3. Cho 3 số a; b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ?

A. 2b², a, c²;

B. –2c, –2b, –2a;

C. 2b, a, c;

D. 2b, –a, –c.

Bài 4. Cho ba số a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây sai?

A. a² – 2ab = c² – 2bc;

B. a² – 2ab = ac;

C. – ac = c² – 2bc;

D. a² + 2bc = c² – 2ab.

Bài 5. Cho a, b và c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. a² + 8bc = (2a + c)²;

B. a² + 8bc = 4a² + c² + b²;

C. a² + 8bc = (2b + c)²;

D. a² + 8bc = (b + c)².

Bài 6. Cho ba số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Ba số nào sau đây cũng lập thành cấp số cộng?

A. a² + ab + b²; a² + ac + c²; b² + bc + c²;

B. a² + b²; a² + c², b² + c²;

C. a² + ab + bc; b² + bc + ab; c² + bc + c²;

D. A, B, C đều sai.

Bài 7. Cho tam giác ABC có $\cot \frac{A}{2},\cot \frac{B}{2},\cot \frac{C}{2}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Hỏi hệ thức về mối liên hệ giữa ba cạnh a,b và c nào sau đây là đúng?

A. a² = bc;

B. b = a + c;

C. ab = ac + bc;

D. 2b = a + c.

Bài 8. Cho bốn số x, y, z và t theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Hỏi đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. t² + 7x² + 18dx = 4z² – 16d + 4y²;

B. t² + 7x² – 18dx = 4z² – 16d + 4y²;

C. t² + 7x² + 18dx = 4z² – 16d – 4y²;

D. Cả A, B, C đều sai.

Bài 9. Cho ba số x + 1; y + 3 và z – 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. x + d = y;

B. x + d =  y + 1;

C. x + d = y + 2;

D. x + d = y – 2.

Bài 10. Cho ba số x – 1; y + 1 và z theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Mệnh đề nào đúng?

A. z = 2x – y  + 3;

B. z = 2y + x – 5;

C. z = 2y – x + 3;

D. z = 2x – y + 1.