Cho mạch điện như hình vẽ. Biết UAB = 90 V; R1 = R3 = 45Omega ; R2 = 90Omega. Tìm R4. Biết khi K mở và khí K đóng cường độ dòng điện qua R4 là như nhau.
Câu hỏi:
Trả lời:
Lời giải
- Khi K mở mạch trở thành: (R2 // (R1 nt R4)) nt R3
R14 = R1 + R4 = 45 + R4
\({R_{124}} = \frac{{{R_2}.\left( {45 + {R_4}} \right)}}{{{R_2} + 45 + {R_4}}} = \frac{{90\left( {45 + {R_4}} \right)}}{{135 + {R_4}}}\)
\({R_{1234}} = {R_3} + {R_{124}} = 45 + \frac{{90\left( {45 + {R_4}} \right)}}{{135 + {R_4}}} = \frac{{10125 + 135{R_4}}}{{135 + {R_4}}}\)
Lại có:
I = I3 = I124 = \(\frac{{{U_{AB}}}}{{R{}_{1234}}} = \frac{{90\left( {135 + {R_4}} \right)}}{{10125 + 135{R_4}}}\)
I124 = I2 + I14 \( \Rightarrow {I_1} = {I_4} = {I_{14}} = {I_{124}} - {I_2}\)
Mà U2 = U14 = U124
Nên \({I_4} = {I_{124}} - \frac{{{U_{124}}}}{{{R_2}}} = {I_{124}} - \frac{{{I_{124}}.{R_{124}}}}{{{R_2}}} = {I_{124}}\left( {1 - \frac{{{R_{124}}}}{{{R_2}}}} \right)\)
\[ \Rightarrow {I_4} = \frac{{90\left( {135 + {R_4}} \right)}}{{10125 + 135{R_4}}}\left( {1 - \frac{{90\left( {45 + {R_4}} \right)}}{{\left( {135 + {R_4}} \right).90}}} \right)\]
\( \Rightarrow {I_4} = \frac{{8100}}{{10125 + 135{R_4}}} = \frac{{180}}{{225 + 3{R_4}}}\) (1)
- Khi K đóng mạch trở thành: R1 // (R2 nt (R3 //R4))
\({R_{34}} = \frac{{{R_3}.{R_4}}}{{{R_3} + {R_4}}} = \frac{{45{R_4}}}{{45 + {R_4}}}\)
\({R_{234}} = {R_2} + {R_{34}} = 90 + \frac{{45{R_4}}}{{45 + {R_4}}} = \frac{{4050 + 135{R_4}}}{{45 + {R_4}}}\)
\({R_{1234}} = \frac{{{R_1}.{R_{234}}}}{{{R_1} + {R_{234}}}} = \frac{{45.\left( {4050 + 135{R_4}} \right)}}{{\left( {45 + {R_4}} \right).\left( {45 + \frac{{4050 + 135{R_4}}}{{45 + {R_4}}}} \right)}} = \frac{{4050 + 135{R_4}}}{{135 + 4{R_4}}}\)
Ta có: UAB = U234 = U1; U234 = U2 + U34; U34 = U3 = U4
Nên \({I_4} = \frac{{{U_4}}}{{{R_4}}} = \frac{{{U_{34}}}}{{{R_4}}} = \frac{{{U_{234}} - {U_2}}}{{{R_4}}} = \frac{{{U_{AB}} - {U_2}}}{{{R_4}}} = \frac{{{U_{AB}} - {I_2}.{R_2}}}{{{R_4}}}\)
Mà I2 = I234 = \(\frac{{{U_{234}}}}{{{R_{234}}}} = \frac{{{U_{AB}}}}{{{R_{234}}}}\)
\( \Rightarrow {I_4} = \frac{{{U_{A{\bf{B}}}} - \frac{{{U_{AB}}}}{{{R_{234}}}}.{R_2}}}{{{R_4}}} = \frac{{90 - \frac{{90.90}}{{{R_{234}}}}}}{{{R_4}}} = \frac{{90{R_{234}} - 8100}}{{{R_4}.{R_{234}}}}\) (*)
Thay R234= \(\frac{{4050 + 135{R_4}}}{{45 + {R_4}}}\) vào (*) ta được:
\({I_4} = \frac{{4050}}{{4050 + 135{R_4}}}\) (2)
Vì I4 trong 2 trường hợp là bằng nhau nên (1) = (2)
\(\frac{{180}}{{225 + 3{R_4}}}\)\( = \frac{{4050}}{{4050 + 135{R_4}}}\)\( \Rightarrow \frac{6}{{75 + {R_4}}} = \frac{{135}}{{1350 + 45{R_4}}}\)
\( \Rightarrow 8100 + 270{R_4} = 10125 + 135{R_4} \Rightarrow {R_4} = 15\Omega \)