Bài 3.3 trang 44 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 5: Elip

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 3.3 trang 44 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 5: Elip. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 3.3 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$.

a) Qua tiêu điểm của elip vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

b)Tìm điểm M trên elip sao cho MF₁ = 2MF₂ với F₁ và F₂ là hai tiêu điểm của elip (hoành độ của F₁ âm).

Lời giải:

Có $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-5}=2.$

a) Giả sử A nằm phía trên còn B nằm phía dưới trục Ox.

Khi đó toạ độ của A có dạng (c; y_A) hay (2; y_A) với y_A > 0;

toạ độ của B có dạng (c; y_B) hay (2; y_B) với y_B > 0.

Vì A thuộc elip nên

$\frac{2^2}{9}+\frac{{\left(y_A\right)}^2}{5}=1\Rightarrow \frac{{\left(y_A\right)}^2}{5}=\frac{5}{9}\Rightarrow y_A=\frac{5}{3}.$

Vì B thuộc elip nên

$\frac{2^2}{9}+\frac{{\left(y_B\right)}^2}{5}=1\Rightarrow \frac{{\left(y_B\right)}^2}{5}=\frac{5}{9}\Rightarrow y_B=-\frac{5}{3}.$

b) Gọi toạ độ của M là (x; y). Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x, MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x. Do đó:

MF₁ = 2MF₂ $\iff a+\frac{c}{a}x=2\left(a-\frac{c}{a}x\right)$

$\iff a=3\frac{c}{a}x\iff x=\frac{a^2}{3c}=\frac{9}{3.2}=\frac{3}{2}.$

$\Rightarrow \frac{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\Rightarrow \frac{1}{4}+\frac{y^2}{5}=1$

$\Rightarrow \frac{y^2}{5}=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{15}}{2}.$

Vậy $M\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{15}}{2}\right)$ hoặc $M\left(\frac{3}{2};-\frac{\sqrt{15}}{2}\right).$