HĐ1 trang 40 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 5: Elip

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải HĐ1 trang 40 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 5: Elip. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

HĐ1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (H.3.1).

a) Tìm toạ độ các giao điểm của elip với các trục toạ độ.

b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

c) Với điểm M(x₀; y₀) thuộc elip, hãy so sánh OM² với a², b².

Lời giải:

a)

+) Vì A₁ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₁ có dạng $\left(x_{A_1};0\right).$

Mà A₁ thuộc elip nên $\frac{x_{{}_{A_1}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_{{}_{A_1}}^2=a^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_{A_1}=a\\ x_{A_1}=-a\end{array}\right..$

Ta thấy A₁ nằm bên trai điểm O trên trục Ox nên $x_{A_1}<0\Rightarrow x_{A_1}=-a$ ⇒ A₁(–a; 0).

+) Vì A₂ thuộc trục Ox nên toạ độ của A₂ có dạng $\left(x_{A_2};0\right).$

Mà A₂ thuộc elip nên $\frac{x_{{}_{A_2}}^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\Rightarrow x_{{}_{A_2}}^2=a^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{x}_{A_2}=a\\ x_{A_2}=-a\end{array}\right..$

Ta thấy A₂ nằm bên phải điểm O trên trục Ox nên $x_{A_2}>0\Rightarrow x_{A_2}=a$ ⇒ A₂(a; 0).

+) Vì B₁ thuộc trục Oy nên toạ độ của B₁ có dạng $\left(0;y_{B_1}\right).$

Mà B₁ thuộc elip nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{y_{{}_{B_1}}^2}{b^2}=1\Rightarrow y_{{}_{B_1}}^2=b^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{y}_{B_1}=b\\ y_{B_1}=-b\end{array}\right..$

Ta thấy B₁ nằm bên dưới điểm O trên trục Oy nên $y_{B_1}>0\Rightarrow y_{B_1}=-b$ ⇒ B₁(0; –b).

+) Vì B₂ thuộc trục Oy nên toạ độ của B₂ có dạng $\left(0;y_{B_2}\right).$

Mà B₂ thuộc elip nên $\frac{0^2}{a^2}+\frac{y_{{}_{B_2}}^2}{b^2}=1\Rightarrow y_{{}_{B_2}}^2=b^2\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{y}_{B_2}=b\\ y_{B_2}=-b\end{array}\right..$

Ta thấy B₂ nằm bên trên điểm O trên trục Oy nên $y_{B_2}>0\Rightarrow y_{B_2}=b$ ⇒ B₂(0; b).

b)

Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Ta có:

$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$

nên các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

c) M(x₀; y₀) thuộc elip nên ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

OM² = $x_0^2+y_0^2=a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}$

mà $b^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}<a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}<a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+a^2.\frac{y_0^2}{b^2}$

hay $b^2\left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)<a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}<a^2\left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)$

hay $b^2<a^2.\frac{x_0^2}{a^2}+b^2.\frac{y_0^2}{b^2}<a^2$ nên b² < OM² < a².