HĐ3 trang 43 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 5: Elip

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải HĐ3 trang 43 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 5: Elip. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

HĐ3 trang 43 Chuyên đề Toán 10:

Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, với các tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0), ở đây $c=\sqrt{a^2-b^2}$ (H.3.6). Xét các đường thẳng ∆₁ : x = $-\frac{a^2}{c}$ và ∆₂ : x = $\frac{a^2}{c}$. Với điểm M(x; y) thuộc elip, tính các tỉ số $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}$ và $\frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}$ theo a và c.

Lời giải:

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₁ ở dạng: x + 0y + $\frac{a^2}{c}$ = 0. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có:

d(M, Δ₁) = $\frac{\left|x+0y+\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\left|x+\frac{a^2}{c}\right|.$

Do MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x > 0 nên MF₁ = |a + $\frac{c}{a}$x|,

suy ra $\frac{M{F}_1}{d\left(M,{\Delta }_1\right)}=\frac{\left|a+\frac{c}{a}x\right|}{\left|x+\frac{a^2}{c}\right|}=\frac{\left|\frac{a^2+cx}{a}\right|}{\left|\frac{xc+a^2}{c}\right|}=\left|\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₂ ở dạng: x + 0y – $\frac{a^2}{c}$ = 0. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có:

d(M, Δ₂) = $\frac{\left|x+0y-\frac{a^2}{c}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\left|x-\frac{a^2}{c}\right|.$

Do MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x > 0 nên MF₂ = |a – $\frac{c}{a}$x|,

suy ra $\frac{M{F}_2}{d\left(M,{\Delta }_2\right)}=\frac{\left|a-\frac{c}{a}x\right|}{\left|x-\frac{a^2}{c}\right|}=\frac{\left|\frac{a^2-cx}{a}\right|}{\left|\frac{xc-a^2}{c}\right|}=\left|\frac{c}{a}\right|=\frac{c}{a}.$