Bài 3.4 trang 44 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 5: Elip

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 3.4 trang 44 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 5: Elip. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 3.4 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Đường tròn phụ của hình elip là đường tròn có đường kính là trục nhỏ của elip (H.3.8).

Do đó, đường tròn phụ là đường tròn lớn nhất có thể nằm bên trong một hình elip. Tìm phương trình đường tròn phụ của elip $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ và chứng minh rằng, nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì điểm $N\left(\frac{b}{a}{x}_0;y_0\right)$ thuộc đường tròn phụ.

Lời giải:

Vì đường tròn phụ có đường kính là trục nhỏ của elip nên có tâm là O(0; 0) và bán kính b.

Vậy phương trình đường tròn phụ là: x² + y² = b².

Có M(x₀; y₀) thuộc elip nên $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Xét điểm N($\frac{b}{a}$x₀; y₀) , ta có:

${\left(\frac{b}{a}{x}_0\right)}^2+y_0^2=\frac{b^2}{a^2}.x_0^2+y_0^2=b^2\left(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}\right)=b^2.1=b^2.$

Vậy toạ độ điểm N thoả mãn phương trình đường tròn phụ, do đó điểm N thuộc đường tròn phụ.