Bài 4 trang 48 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Elip

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 4 trang 48 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 1: Elip. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 4 trang 48 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(3; 0) trên (E).

b) Tìm điểm N trên (E) sao cho NF₁ = NF₂.

c) Tìm điểm S trên (E) sao cho SF₁ = 2SF₂.

Lời giải:

a) Có a² = 9, b² = 1 $\Rightarrow$ a = 3, b = 1 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$

Tâm sai của (E) là $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(3; 0) là MF₁ = a + $\frac{c}{a}x$ = 3 + $\frac{2\sqrt{2}}{3}.3$ = 3 + $2\sqrt{2}$, MF₂ = a – $\frac{c}{a}x$= 3 – $\frac{2\sqrt{2}}{3}.3$ = 3 – $2\sqrt{2}$

b) Gọi toạ độ của N là (x; y). Khi đó NF₁ = a + $\frac{c}{a}$x, NF₂ = a – $\frac{c}{a}x$.

NF₁ = NF₂ $\iff$a + $\frac{c}{a}x$ = a – $\frac{c}{a}x$ $\iff$ x = 0 $\iff [\begin{array}{c}y=1\\ y=-1\end{array}.$

Vậy có hai điểm N thoả mãn là N₁(0; 1) và N₂(0; –1).

c) Gọi toạ độ của S là (x; y). Khi đó SF₁ = a + $\frac{c}{a}x$, SF₂ = a – $\frac{c}{a}x$.

SF₁ = 2SF₂ $\iff$ a + $\frac{c}{a}x$ = 2 $(a-\frac{c}{a}x)$$\iff 3\frac{c}{a}x=a\iff x=\frac{a^2}{3c}=\frac{9}{3.2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$

$\iff [\begin{array}{c}y=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}.$

Vậy có hai điểm S thoả mãn là $S_1(\frac{3\sqrt{2}}{4};\frac{\sqrt{3}}{2})$ và $S_2(\frac{3\sqrt{2}}{4};-\frac{\sqrt{3}}{2}).$