Bài 8 trang 38 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Nhị thức newton

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 8 trang 38 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 2: Nhị thức newton. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 8 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

${(a+b)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+\mathrm{...}+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n$

với n ∈ ℕ^*.

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có: (a + b)¹ = a + b = $C_1^0{a}^1+C_1^1{b}^1.$

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

${(a+b)}^{k+1}=C_{k+1}^0{a}^{k+1}+C_{k+1}^1{a}^{(k+1)-1}b+\mathrm{...}+C_{k+1}^{(k+1)-1}a{b}^{(k+1)-1}+C_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(a+b)}^k=C_k^0{a}^k+C_k^1{a}^{k-1}b+\mathrm{...}+C_k^{k-1}a{b}^{k-1}+C_k^k{b}^k.$

Khi đó:

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*.