Bài 4 trang 36 Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo

---

Giải Chuyên đề Toán 11 Bài 6: Phép vị tự - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 36 Chuyên đề Toán 11: Hãy xác định phép vị tự biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’) (R ≠ R’) trong các trường hợp sau:

a) Hai đường tròn cắt nhau.

b) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

c) Hai đường tròn tiếp xúc trong.

d) Hai đường tròn đựng nhau.

e) Hai đường tròn ở ngoài nhau.

Lời giải:

a) Lấy điểm M bất kì thuộc (O; R).

Đường thẳng qua O’ và song song với OM cắt đường tròn (O’; R’) tại hai điểm M’ và M’’ (giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và M, M’’ nằm khác phía đối với đường thẳng OO’).

Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I nằm ngoài đoạn OO’ và đường thẳng MM’’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I’ nằm trong đoạn OO’.

Ta có V_{(I, k)} biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’).

Suy ra R’ = |k|.R.

Do đó $\mathrm{|k|}=\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Mà k > 0 (do O, O’ nằm cùng phía đối với I).

Suy ra $k=\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Ta có V_{(I’, k’)} biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’).

Chứng minh tương tự, ta được khi O, O’ nằm khác phía đối với I’, ta có $k^{\text{'}}=-\frac{R^{\text{'}}}{R}$ .

Vậy ta có hai phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là $V_{\left(I,\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$ và $V_{\left(I^{\text{'}},-\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$ .

b) Lấy điểm M bất kì thuộc (O; R).

Đường thẳng qua O’ và song song với OM cắt đường tròn (O’; R’) tại hai điểm M’ và M’’ (giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và M, M’’ nằm khác phía đối với đường thẳng OO’).

Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I nằm ngoài đoạn OO’ và đường thẳng MM’’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I’ nằm trong đoạn OO’ và I’ là tiếp điểm của hai đường tròn.

Ta có V_{(I, k)} biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’).

Suy ra R’ = |k|.R.

Do đó $\mathrm{|k|}=\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Mà k > 0 (do O, O’ nằm cùng phía đối với I).

Suy ra $k=\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Ta có V_{(I’, k’)} biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’).

Chứng minh tương tự, ta được khi O, O’ nằm khác phía đối với I’, ta có $k^{\text{'}}=-\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Vậy ta có hai phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là ${\text{V}}_{\left(I,\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$ và $V_{\left(I^{\text{'}},-\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$.

c) Lấy điểm M bất kì thuộc (O; R).

Đường thẳng qua O’ và song song với OM cắt đường tròn (O’; R’) tại hai điểm M’ và M’’ (giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và M, M’’ nằm khác phía đối với đường thẳng OO’).

Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I nằm ngoài đoạn OO’ và đường thẳng MM’’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I’ nằm trong đoạn OO’.

Ta có V_{(I, k)} biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’).

Suy ra R’ = |k|.R.

Do đó $\mathrm{|k|}=\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Mà k > 0 (do O, O’ nằm cùng phía đối với I).

Suy ra $k=\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Ta có V_{(I’, k’)} biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’).

Chứng minh tương tự, ta được khi O, O’ nằm khác phía đối với I’, ta có $k^{\text{'}}=-\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Vậy ta có hai phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là $V_{\left(I,\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$ và $V_{\left(I^{\text{'}},-\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$.

d) Ta xét trường hợp (O; R) đựng (O’; R’), trường hợp còn lại tương tự.

⦁ Trường hợp 1: O ≠ O’.

Lấy điểm M bất kì thuộc (O; R).

Đường thẳng qua O’ và song song với OM cắt đường tròn (O’; R’) tại hai điểm M’ và M’’ (giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và M, M’’ nằm khác phía đối với đường thẳng OO’).

Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I nằm ngoài đoạn OO’ và đường thẳng MM’’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I’ nằm trong đoạn OO’.

Ta có V_{(I, k)} biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’).

Suy ra R’ = |k|.R.

Do đó $\mathrm{|k|}=\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Mà k > 0 (do O, O’ nằm cùng phía đối với I).

Suy ra .

Ta có V_{(I’, k’)} biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’).

Chứng minh tương tự, ta được khi O, O’ nằm khác phía đối với I’, ta có $k^{\text{'}}=-\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Vì vậy ta có hai phép vị tự thỏa mãn trường hợp 1 là $V_{\left(I,\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$ và $V_{\left(I^{\text{'}},-\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$.

⦁ Trường hợp 2: O ≡ O’.

Vì O ≡ O’ nên V_{(O, k)} biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O; R’).

Suy ra R’ = |k|.R.

Do đó $\mathrm{|k|}=\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Vì vậy $k=\frac{R^{\text{'}}}{R}$ hoặc $k=-\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Khi đó ta có hai phép vị tự thỏa mãn trường hợp 2 là $V_{\left(O,\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$ và $V_{\left(O,-\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$.

Vậy có 4 phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

– Nếu O ≠ O’ thì ta có hai phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là ${\text{V}}_{\left(I,\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$ và $V_{\left(I^{\text{'}},-\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$.

– Nếu O ≡ O’ thì ta có hai phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là $V_{\left(O,\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$ và $V_{\left(O,-\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$.

e) Lấy điểm M bất kì thuộc (O; R).

Đường thẳng qua O’ và song song với OM cắt đường tròn (O’; R’) tại hai điểm M’ và M’’ (giả sử M, M’ nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và M, M’’ nằm khác phía đối với đường thẳng OO’).

Giả sử đường thẳng MM’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I nằm ngoài đoạn OO’ và đường thẳng MM’’ cắt đường thẳng OO’ tại điểm I’ nằm trong đoạn OO’.

Ta có V_{(I, k)} biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’).

Suy ra R’ = |k|.R.

Do đó $\mathrm{|k|}=\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Mà k > 0 (do O, O’ nằm cùng phía đối với I).

Suy ra $k=\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Ta có V_{(I’, k’)} biến đường tròn (O; R) thành đường tròn (O’; R’).

Chứng minh tương tự, ta được khi O, O’ nằm khác phía đối với I’, ta có $k^{\text{'}}=-\frac{R^{\text{'}}}{R}$.

Vậy ta có hai phép vị tự thỏa mãn yêu cầu bài toán là $V_{\left(I,\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$ và $V_{\left(I^{\text{'}},-\frac{R^{\text{'}}}{R}\right)}$.

Lời giải Chuyên đề Toán 11 Bài 6: Phép vị tự hay, chi tiết khác:

• Khởi động trang 30 Chuyên đề Toán 11: Trong sách báo, tranh ảnh hay trong thực tế có những hình ảnh với hình dạng hoàn toàn giống nhau ....

• Khám phá 1 trang 30 Chuyên đề Toán 11: Trong Hình 1, cho biết A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC. a) Xét xem hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng không? ....

• Thực hành 1 trang 31 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; 9). Tìm tọa độ các điểm M1 và M2 lần lượt là ảnh của M ....

• Vận dụng 1 trang 32 Chuyên đề Toán 11: Thước vẽ truyền là một dụng cụ gồm bốn thanh gỗ hoặc kim loại được ghép với nhau nhờ bốn khớp xoay ....

• Khám phá 2 trang 32 Chuyên đề Toán 11: Gọi M’ và N’ lần lượt là ảnh của M và N qua phép vị tự V_{(O, k)}. Từ các hệ thức ....

• Khám phá 3 trang 33 Chuyên đề Toán 11: Gọi A’, B’ và C’ lần lượt là ảnh của ba điểm thẳng hàng A, B, C qua phép vị tự V_{(O, k)} ....

• Thực hành 2 trang 33 Chuyên đề Toán 11: Cho tam giác ABC có G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ....

• Khám phá 4 trang 34 Chuyên đề Toán 11: Cho phép vị tự V_{(O, k)} và đường tròn (C) tâm I bán kính r. Xét điểm M thuộc (C) ....

• Vận dụng 2 trang 35 Chuyên đề Toán 11: Vẽ Hình 11 ra giấy kẻ ô li và tìm ảnh của tứ giác ABCD qua phép vị tự $V_{\left(O,-\frac{1}{2}\right)}$ ....

• Bài 1 trang 35 Chuyên đề Toán 11: Các phép biến hình sau có phải là phép vị tự không: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục ....

• Bài 2 trang 35 Chuyên đề Toán 11: Các khẳng định sau đúng hay sai? a) Phép vị tự luôn có điểm bất động ....

• Bài 3 trang 35 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: (C): x^2 + y^2 + 4x – 2y – 4 = 0 ....

• Bài 5 trang 36 Chuyên đề Toán 11: Cho hai đường tròn (I; R) và (I’; R’) (Hình 12) có tâm phân biệt và bán kính khác nhau ....

• Bài 6 trang 36 Chuyên đề Toán 11: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với CD = (1/2).AB . Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD ....

• Bài 7 trang 36 Chuyên đề Toán 11: Tìm các tỉ số vị tự của phép biến hình được thực hiện trên cây thước vẽ truyền trong Hình 13 ....

• Bài 8 trang 36 Chuyên đề Toán 11: Trong Hình 14, tìm phép vị tự được dùng để biến bốn tam giác nhỏ thành bốn tam giác lớn ....